"Механики XXI веку" №16 2017

290 / 397

Механики XXI веку. № 16 2017 г.
290
     



    , 1 l d el R S l i
q q


 (6)
где – волновая частота микропрофиля, то для корреляционной функции вида
  ) cos ( 2 1
2 1 l eA eAD l Rl l
q q           (7)
где Dq – дисперсия ординат микропрофиля, спектральная плотность имеет вид:
  





 

 


 2
2
2
2
2 2
2
2
2
2 2
1
2
1
1 ) (
5,0
) (
5,0
  

  

 


 A A A
D
S q
q
(8)
Приведем выражение (8) к общему знаменателю. Тогда
  ,
] ) ][( ) )[( ( 2
2
2 2
2
2 2
1
2
2
2
1
4
2
0        
 

    
 
 c c
k S q
(9)
или
,
)(
)(
)(
2
1 2
0 


S
S k
S q 
Найдем корни полиномов, стоящих в числителе S1( ) и знаменателе S2( ) выражения
(9), чтобы представить спектральную плотность в виде дробно-рациональной функции.
В результате спектральная плотность выходного процесса может быть выражена сле-
дующей дробно-рациональной функцией
           
         
2 2 1
2 2 2 2 2 2 2
0
2
1 2
0 q i i i
ib a ib a ib a
k
) (S
) (S k ) (S
       
  



    
     
     
         
2 2 1
2 2
ia ia ia
ib a
    
 
    
 (10)
Для линейных систем автоматического регулирования имеет место соотношение ме-
жду спектральными плотностями на входе и выходе системы – уравнение Винера-Хинчина:
)( ) ( )( 2    x ф q S iH S  . (11)
Поскольку в данном случае 1 )(  
x S , то получаем:
)( ) (2   q ф S iH  , (12)
где ) (  iH
ф – модуль передаточной функции формирующего фильтра.
Зная выражение спектральной плотности в виде дробно-рациональной функции (10),
можно представить формулу (12) в виде
) ( ) (
) ( ) (
) (
) (
) (
2 2
1 1 2
0
2
1 2
0
2
 
 



i H iH
i H iHk
iS
iS k
iH
ф 

  . (13)
Разложение спектральной плотности на множители вида (10) или (13) называется фак-
торизацией.
Порядок проведения факторизации следует из теоремы о разложении неотрицатель-
ных дробно-рациональных функций на множители. Согласно этой теореме всякая неотрица-
тельная дробно-рациональная относительно функция:
 
 
  





 1
1
2
1
1
1
2
1
'
'
' ) (
m
k
k
l
k
k
c
G
G
 
 


может быть представлена в виде:
 
 
 
2
1
2
1
1
2
1
'
'
) (






 m
k
k
l
k
k
c
G
G
 
 

 ,
где с', с - некоторые константы;  
1 G ,  
2 G - полиномы степеней l1 и m1, причем
m1>l1, m>l; k k 2 1 ,   - те из корней k k 2 1 ' , '   в первоначальном представлении дробно-
рациональной функции, которые лежат в верхней полуплоскости.