214 / 397
Механики XXI веку. №16 2017 г.
214
e
I
F
1
1
1
1
1
0
1
01
.
(10)
где
0 1
EE I
e
,
2
1
2
0
1
1
I I
e
,
0 1
EE I
.
Аналогичный результат, с использованием жесткостной модели слоистого тела, полу-
чен при внедрении жесткого сферического индентора:
R
FE E
1
*
1
*
01
;
(11)
1
2
3
1 01
1 0
1
2
3
1 01
01
2
5
1 1
1
1
1
0
0
0
e
R
I
K
K K
K K
K K K F
;
(12)
e
R
I
F
1
1
1
1
1
0
1
01
.
(13)
Как показали расчеты повыражениям (9) и (12), полученные результаты при нагруже-
ния слоистого тела осесимметричной распределенной нагрузкой и при внедрения в него сфе-
рического индентора отличаются не более чем на 1%, поэтому в дальнейшем рекомендуется
использовать
1
F
.
Предлагаемое новое решение.
Выражения (8), (9) и аналогичные – (11), (12) получены с
использованием жесткостной модели слоистого полупространства, представленной на рис. 2.
а)
b)
с)
d)
Рис. 2. Моделирование слоистого полупространства:
a
) – исходная схема слоистого полупространства (рис. 1);
b
),
c
) – жесткостные схемы однородных полупро-
странств;
d
) – эквивалентная схема нагружения слоистого полупространства
При выводе выражений (8) и (9) исползовалось условие о равенстве перемещений для
однородных тел в точке
A
[15]. Сохраняя обозначения работы [15] рассмотрим иной подход.
Схему (рис.1) можно представить в виде рис.2,
а
. Тогда перемещения:
1
Ps
,
0
Ps
a
,
0 1
0
s sP
,
где
s
1
,
s
0
– жесткости слоя и основного материала,
1
0
2
pa P
.
Рассмотрим два однородных полупространства с упругими характеристиками
1
,
Е
1
и
0
,
Е
0
, нагруженные соответственно силами
P
1
и
P
0
(рис. 2,
b
и 2,
c
). Силы
P
1
и
P
0
и соответ-
ственно максимальные давления
р
01
и
р
00
выбираются из условия равенства перемещений:
1
;
0
a
.
Для схемы (рис. 2,
b
):
1 1 1
1
1
*
1
01
1
1
1
1
,
,0
K
K
E
ap u u
zA
zO A
O
где
a
1 1
.
Для схемы (рис. 2,
c
):
1 0 *
0
00
0
0
K
E
ap u
zA
A
.
Соответствующие жесткости:
1
1
1
1
P
u u s
zA
zO
,
0
0
0
P
u s
zA
.
(14)