Systems. Methods. Technologies 3 (43) 2019

Systems Methods Technologies. Yu.V. Vidin et al. Analytical method …2019 № 3 (43) p. 58-62 60 Если 3 2   a (или 3 1 2   a a ), то согласно [15] зависимость (16) приводится к алгебраическому урав- нению 2-й степени:     0 14 375 ,0 1 12 1 2 2       a a a a n , (17) корни которого равны:         a a a a n a a n n          14 375 ,0 1 1 16 1 1 14 1 2 2 222 , (18) причем ... ,3,2  n . При 1  n 0 1  . Если же  Bi , т. е. граничное условие (3) выро- ждается в условие 1-го рода, то выражение (15) прини- мает вид:                                a a Y a a J a Y a J 1 2 1 2 2 2 0 0 1 1 . (19) Используя те же ранее названные ограничения, можно заменить формулу (19) на квадратное алгебраи- ческое уравнение типа:     0 1 14 375 ,0 1 125 ,0 1 12 2 1 2 2 2                      a a a a a n . (20) Решая его, получим:       1 14 375 ,0 1 125 ,0 1 1 16 2 1 2 1 14 2 1 2 2 2 2 2                               a a a a a n a a n n , (21) где ... ,3,2,1  n . В таблицах приведены значения первых трех корней n  характеристического уравнения (15) для следующих величин коэффициента a = –0,5; –0,3; –0,1; 0; 0,1; 0,3 и 0,5. При этом для предельных значений 0 Bi  и  Bi расчеты были проведены по аналитическим формулам (18) и (21), а для случая, когда 0  a , корни 1  , 2  и 3  заимствованы из монографии [8]. При этом для 0  a можно показать, что уравнение (15) преобразуется к виду: Bi ctg   . (22) Коэффициенты ряда n A в решении (5) определяют- ся из начального условия сформулированной задачи, которое записывается:       1 1 n nn XKA , (23) где собственные функции   XK n описываются урав- нением (14). Исходя из свойства ортогональности функций   XK n , очевидно, что:        1 0 2 1 0 d d x XK x XK A n n n . (24) В частном случае, а именно, когда 0  a , формула (24) преобразуется к виду [8]: n n n n n A      cos sin sin2 . (25) Таблица 1 Значения первых трех корней характеристического уравнения 0  a a a a J a Y a a Y a J a a J a Y a a Y a J                                                                1Bi 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 0 1 0 1 Bi 5.0  a 3.0  a 1.0  a 1  2  3  1  2  3  1  2  3  0 0 2,6938 5,3692 0 2,8885 5,7718 0 3,0613 6,1221 0,5 0,4685 2,7990 5,4245 0,5505 3,0143 5,8374 0,6210 3,2043 6,1965 1,0 0,6243 2,8935 5,4789 0,7293 3,1263 5,9001 0,8193 3,3310 6,2684 5,0 0,9991 3,3589 5,8268 1,1396 3,6575 6,3055 1,2593 3,9154 6,7197 10,0 1,1064 3,5961 6,0880 1,2500 3,9111 6,5934 1,3729 4,1820 7,0289 50,0 1,2167 3,8988 6,5306 1,3599 4,2183 7,0493 1,4834 4,4940 7,4965 100,0 1,2324 3,9450 6,6066 1,3752 4,2639 7,1245 1,4986 4,5395 7,5716  1,2463 3,9928 6,6862 1,3906 4,3108 7,2025 1,5142 4,5861 7,6492