Systems. Methods. Technologies 3 (43) 2019

Системы Методы Технологии. Ю.В. Видин и др. Аналитический метод … 2019 № 3 (43) с. 58-62 59 Keywords: multilayer structure; equivalent substituting body; temperature field; thermophysical properties; thermal conductivity coefficient; analytical solution; eigenfunctions; eigenvalues; Bessel functions. Введение Ранее в статьях [1; 2] проблема теплопереноса в многослойных конструкциях была рассмотрена для случая экспоненциальной зависимости коэффициента теплопроводности от пространственной координаты. Полученные результаты показывают высокую эффек- тивность предлагаемого метода решения. Несомненно, одним из важнейших для практических приложений является случай аппроксимации коэффициента тепло- проводности линейной зависимостью. Рассмотрим ре- шение данной задачи при линейной зависимости коэф- фициента теплопроводности от пространственной ко- ординаты. Постановка и решение задачи . Одна из важных теплофизических задач, имеющих безусловно при- кладное значение, — это проблема теплопереноса в многослойных конструкциях [3–7]. Предлагаемый под- ход проиллюстрируем на примере симметричной зада- чи, математическая постановка которой в безразмерной форме выглядит следующим образом:   X aX         1 X Fo , (1)   Fo 0 ; 1X0   ;   1 Fo, 0   X ; 0    X при 0  X , (2)    Bi X при 1  X , (3)   1 ,0   X , (4) где a — постоянный коэффициент 1 1  a . Нетрудно показать, что аналитическое решение за- дачи (1) – (4) может быть представлено в виде беско- нечного ряда [7]:             1 2 Fo exp Fo, n n nn XKA X , (5) где   XK n — некоторая искомая собственная функция данной задачи. Очевидно, что в случае, когда 0  a , формула (5) преобразуется в известное решение [6; 7]. При 0  a необходимо определить собственные функции решения (5) и собственные значения [10; 11]. Для нахождения указанных характеристик проведем исследование следующего обыкновенного дифферен- циального уравнения:     0 1 d d 2    y y aX X (6) совместно с дополнительными краевыми условиями: 0  y при 0  X , (7) y y Bi  при 1  X . (8) Если ввести новую независимую переменную: aX Z  1 , (9) то уравнение (6) примет вид: 0 4 1 2     y Z y Z y , (10) где: a   2 . (11) Зависимость (10) является родственной дифференци- альному уравнению Бесселя [12–14]. Поэтому решением для уравнения (10) является следующая комбинация:       aX BY aX JC y       1 1 0 0 , (12) где   aX J   1 0 и   aX Y   1 0 — функции Бесселя соответственно 1-го и 2-го рода нулевого порядка. Эти функции всесторонне изучены, и подробные их таб- личные значения приведены во многих справочных пособиях, например [15–17]. Естественно, что С и B , входящие в выражение (12), являются постоянными интегрирования. Постоян- ная B находится из условия симметрии искомого поля температуры (7), благодаря которому можно получить:        1 1 Y J B , (13) где    1 J и    1 Y — тоже функции Бесселя 1-го и 2-го рода, но 1-го порядка. Таким образом, собственные функции рассматри- ваемой задачи имеют вид:           aX Y J aX J Y XK n n n n n         1 1 0 1 0 1 , (14) где a n n   2 . Собственные значения n  , входящие в соотноше- ние (14), определяются на основе граничного условия 3-го рода (3) изучаемой задачи. Подставляя (14) в фор- мулу (8), несложно получить характеристическое урав- нение для вычисления корней n  : a a a J a Y a a Y a J a a J a Y a a Y a J                                                                1Bi 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 0 1 0 1 .(15) Рассмотрим первый частный случай, а именно 0 Bi  . Тогда вместо (15) получим более простое вы- ражение:                                a a Y a a J a Y a J 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 . (16)