Systems. Methods. Technologies 3 (43) 2019

Systems Methods Technologies. Yu.V. Vidin et al. Analytical method …2019 № 3 (43) p. 58-62 58 МОДЕЛИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ УДК 536.24 DOI: 10.18324/2077-5415-2019-3-58-62 Аналитический метод расчета нестационарного температурного поля при линейной зависимости коэффициента теплопроводности от пространственной координаты Ю.В. Видин 1 a , В.С. Злобин 1 b , А.А. Федяев 2 c 1 Сибирский федеральный университет, пр. Свободный 79, Красноярск, Россия 2 Братский государственный университет, ул. Макаренко 40, Братск, Россия a vidinsfu@mail.ru , b zlobinsfu@mail.ru , c vends1@mail.ru a https://orcid.org/0000-0002-3777-6676 , b https://orcid.org/0000-0002-4281-3857 , c https://orcid.org/0000-0001-6233-3757 Статья поступила 02.07.2019, принята 5.07.2019 В статье рассмотрен аналитический метод решения нестационарной задачи нагрева многослойного плоского тела, ко- эффициенты теплопроводности отдельных слоев которого представляют линейную функцию. На практике такие конструк- ции широко распространены в различных отраслях промышленности. Это могут быть строительные конструкции, футе- ровки металлургических агрегатов, элементы ядерных реакторов, двигателей внутреннего сгорания и т. д. Математическое исследование данной задачи представляет сложную проблему. Согласно предлагаемому методу многослойная конструкция заменяется эквивалентным замещающим телом с линейной зависимостью коэффициента теплопроводности от простран- ственной координаты. Решение задачи основано на использовании хорошо изученных функций Бесселя, которые в табличном виде широко представлены во многих известных научных отечественных и зарубежных источниках. Кроме того, они, как правило, также имеют сравнительно доступные асимптотические представления для разных диапазонов аргументов. С ис- пользованием аппарата функций Бесселя были получены простые и удобные для аналитических расчетов характеристические уравнения для определения собственных чисел, обладающие высокой точностью, вполне достаточной для инженерных рас- четов. Показано, что с помощью различных функций Бесселя могут быть аналитически решены многие задачи математиче- ской физики, имеющие важное прикладное значение. Ключевые слова: многослойная конструкция; эквивалентное замещающее тело; температурное поле; теплофизические свойства; коэффициент теплопроводности; аналитическое решение; собственные функции; собственные числа; функции Бесселя. Analytical method of calculation of non-stationary temperature field at linear dependence of thermal conductivity coefficient on spatial coordinate Yu.V. Vidin 1 a , V.S. Zlobin 1 b , A.A. Fedyaev 2 c 1 Siberian Federal University; 79, Svobodny Ave., Krasnoyarsk, Russia 2 Bratsk State University; 40, Makarenko St., Bratsk, Russia a vidinsfu@mail.ru , b zlobinsfu@mail.ru , c vends1@mail.ru a https://orcid.org/0000-0002-3777-6676 , b https://orcid.org/0000-0002-4281-3857 , c https://orcid.org/0000-0001-6233-3757 Received 02.07.2019, аccepted 5.07.2019 The article considers an analytical method for solving the unsteady problem of heating a multilayer plane body, the thermal conduc- tivity coefficients of individual layers of which represent a linear function. In practice, such designs are widespread in various indus- tries. These can be building structures, lining of metallurgical units, elements of nuclear reactors, internal combustion engines, etc. Mathematical study of this problem is a complex problem. According to the proposed method, the multilayer structure is replaced by an equivalent replacement body with a linear dependence of the thermal conductivity coefficient on the spatial coordinate. The solution of this problem is based on the use of well-studied Bessel functions, which in tabular form are widely represented in many well-known scientific domestic and foreign sources. In addition, they also tend to have relatively accessible asymptotic representations for different argument ranges. Using the Bessel function apparatus, the characteristic equations for the determination of eigenvalues were obtained, which are quite simple and convenient for analytical calculations. It is shown that with the help of various Bessel functions many prob- lems of mathematical physics, which have important applied value, can be analytically solved.