Systems. Methods. Technologies 2 (42) 2019

Системы Методы Технологии. Р.З. Хайруллин и др. Модельная задача … 2019 № 2 (42) с. 67-72 69 сохранения неисправного состояния (невозможности отремонтировать неисправный образец ИТ), причем 1 22 21   p p . В качестве управления выберем количество закупок z в единицу времени. Предполагается, что в результа- те проведенного ремонта образец ИТ переходит из со- стояния «неисправный» в состояние «исправный». Также предполагается, что закупаемый образец ИТ является исправным. Граф переходов состояний пред- ставлен на рис. 1. Рис. 1. Граф переходов состояний измерительной техники При определенных условиях [11–13] система диф- ференциальных уравнений, описывающих динамику переходов состояний ИТ, имеет вид:             z xp xp dt dx z xp xp dt dx 1 12 2 21 2 2 21 1 12 1 , T t  0 , (1) где T —момент окончания периода прогнозирования (горизонт прогнозирования). Начальные условия имеют вид: 10 1 )0( x x  , 20 2 )0( x x  . (2) Отметим, что решение (1) при начальных условиях (2) в разные моменты времени может выражаться не- целыми числами. Поскольку общее количество образ- цов ИТ, входящих в ПИТ, достаточно велико, то неце- лые решения будем округлять до целых по стандарт- ным правилам округления. Для решения задач прогно- зирования такая точность является приемлемой. Исследуем случай, когда z является постоянной величиной на отрезке времени T t  0 . Предельным (установившимся) режимом назовем процесс, установившийся в системе при  t [1]. Система (1) имеет установившееся (предельное) реше- ние   2 1 , x x , которое может быть найдено, если при- равнять выражения, стоящие в правой части системы, к нулю. Установившееся (предельное) решение удовле- творяет линейному алгебраическому уравнению: 0 2 21 1 12      z xp xp . Откуда: 21 1 21 12 2 p z x p p x      . Если рассматривать последнее соотношение как функцию ) ( 1 2    xf x , то легко видеть, что эта функция является линейной (имеет вид: b kx y   ,где k и b — постоянные величины) с угловым коэф- фициентом 21 12 p p k  и свободным членом 21 p z b  Если рассматривать z как параметр, то параметри- ческое семейство функций при разных значениях z представляет собой совокупность параллельных прямых линий (рис. 2). Значения   2 1 , x x , соответст- вующие разным значениям параметра z , могут быть найдены как точки пересечения прямой N x x     2 1 с соответствующей прямой семейст- ва (1.3). Таким образом, возможные значения ) , ( 2 1   x x лежат на отрезке прямой N x x     2 1 , заключенном между прямыми, со- ответствующими 0  z и 0 2   x , 0 2   x . Рис. 2. Линейная зависимость компонентов установившегося решения Явные выражения для установившихся значений   2 1 , x x имеют вид: 21 12 21 1 p p z Np x     , 21 12 12 2 p p z Np x     . Система уравнений (1) с начальными условиями (2) может быть проинтегрирована аналитически: t p p e p p z xp xp p p z Np tx             ) ( 21 12 20 21 10 12 21 12 21 1 12 21 )( , t p p e p p z xp xp p p z Np t x             ) ( 21 12 10 12 20 21 21 12 12 2 12 21 )( . (3) Так, например, при 02,0 12  p , 04,0 21  p , 20 10  x , 80 20  x , 5,0  z зависимости )( 1 tx и )( 2 t x имеют вид, как на рис.3. Видно, что с увеличением времени t ука-