Systems. Methods. Technologies 2 (42) 2019

Системы Методы Технологии. Ю.В. Видин и др. К расчету нестационарного … 2019 № 2 (42) с. 55-59 57                               2 1 2 1 2 e e e ax ax ax BY J Сy . (16) Таким образом, общее аналитическое решение дифференциального уравнения (9) можно представить в форме произведения элементарной экспоненциальной функции и комбинации специальных функций Бесселя [16; 17]. Постоянная интегрирования B будет равна:        0 0 Y J B , (17) где    0 J и    0 Y являются также функциями Бесселя первого и второго рода, но нулевого порядка. Следовательно, окончательное аналитическое ре- шение уравнения (9) с учетом (17) запишется в форме:                                     2 1 0 2 1 0 2 e e e ax ax ax Y J J Y A y , (18) где:     0 Y C A . (19) Комплекс в квадратных скобках в правой части формулы (18) можно рассматривать как собственную функцию исследуемой задачи. Если соотношение (18) подставить в граничное условие третьего рода на по- верхности плоского тела ( 1  X ) (8), то получим ха- рактеристическое уравнение для определения собст- венных значений n  данной задачи:                 Bi2 0 0 0 0 1 0 1 0           aK KY J KJ Y KY J KJ Y , (20) где a   2 ; 2 e a K   . Таким образом, окончательное математическое решение задачи (1) – (4) с учетом ус- ловия (5) принимает вид:       Fo XKA e Fo X n n n n ax 2 1 2 exp ,        , (21) где под   XK n понимаются собственные функции:                              2 1 0 2 1 0 e e ax n n ax n n n Y J J Y XK . (22) Если число  Bi , то формула (20) вырождается в более простое выражение:              KY KJ Y J 1 1 0 0 , (23) которое при наложении ограничения на комплекс  K ( 3  K ) может быть, согласно рекомендациям [13], заменено алгебраическим уравнением второй степени:         0 18 3 12 1 2 2        K K K K n , (24) где ,...3,2,1  n Отсюда следует, что корни n  рассчитываются на основе решения:             . 1 8 3 116 1 2 14 1 2 2 2 2 K K K K n K n n           (25) Если же 0 Bi  , т. е. граничное условие (3) преобра- зуется в условие второго рода, то формула (20) тоже упрощается:              KY KJ Y J 0 0 0 0 . (26) Применяя аналогичный вышеизложенному подход к зависимости (26), удается получить простую расчет- ную формулу для определения ее корней в виде:           K K K n K n n          1 125 ,0 14 1 12 1 2 2 2 , (27) где ,...3,2  n , причем 0 1  . Предлагаемые зависимости (25) и (27) обладают при указанном ограничении на комплекс  K высокой степенью точности, которая вполне соответствует тре- бованиям, предъявляемым к инженерно-техническим расчетам. Однако нужно подчеркнуть, что предельное значение для  K , рекомендуемое в [13], может быть существенно снижено без заметного уменьшения точ- ности формул (25) и (27). Если параметр 0  a , то нетрудно показать, исполь- зуя асимптотические формулы для функций   X 0 J ,   X 1 J ,   X 0 Y ,   X 1 Y , приведенные в [11] для больших величин X , что характеристическое уравнение (20) вы- рождается в широко известное соотношение: Bi ctg   . (28) Первые шесть корней n  этого уравнения для раз- ных значений числа Bi (от 0 до  ) даны в моногра- фии [10]. Естественно, что корни n  , удовлетворяю- щие равенству (28), можно рассматривать как мини- мально предельные по отношению к собственным зна- чениям выражения (20) при одинаковых величинах Bi . В таблице 1 приведены значения первых трех кор- ней n  уравнения (20) для ряда чисел Bi и трех вели- чин параметра a (0,2; 0,5 и 1,0), рассчитанных числен- ным методом, которым соответствуют коэффициенты K (0,90484; 0,77880 и 0,60653). При этом расчеты для предельных Bi (0 и  ) были выполнены по формулам (25) и (27). Полезно заметить, что при известных предельных значениях собственных чисел (при 0 Bi  и  Bi ) можно сравнительно легко установить соответствую-