Systems. Methods. Technologies 2 (42) 2019

Systems Methods Technologies. Yu.V. Vidin et al. To the calculation of the unsteady …2019 № 2 (42) p. 55-59 56 ment changes. The article shows that with the help of various Bessel functions can be analytically solved many problems of mathemati- cal physics, which have important applied value. Keywords: multilayer structure; equivalent substituting body; temperature field; thermophysical properties; thermal conductivity coefficient; analytical solution; eigenfunctions; eigenvalues; Bessel functions. Введение Во многих случаях элементы конструкций, подвер- женные нагреву (охлаждению), являются многослой- ными [1–3]. При этом каждый из элементов, входящих в такую систему, обладает своими теплофизическими свойствами, которые должны наиболее полно согласо- вываться с назначением конкретного слоя. Применение точных способов расчета температурных полей в со- пряженных системах является затруднительным [4]. Это, во-первых, связано со сложностью нахождения аналитических расчетных зависимостей, а во-вторых, полученные решения имеют, как правило, незначи- тельную практическую ценность из-за больших труд- ностей нахождения собственных чисел трансцендент- ных характеристических уравнений [5; 6]. Таким обра- зом, более приемлемым является подход, связанный с получением сравнительно доступных математических зависимостей. Постановка и решение задачи . В данной работе предложен инженерный способ определения нестацио- нарного температурного поля неоднородного плоского тела, для которого зависимость коэффициента теплопро- водности может быть аппроксимирована экспоненциаль- ной функцией. Рекомендуемый подход может быть про- иллюстрирован на примере следующей теплофизической задачи, записанной в безразмерной форме:              X Xλ X Fo , (1)   Fo 0 ; 1X0   ;   1 FoX, 0   ; 0 X    при 0X  , (2)    Bi X при 1X  , (3)   1 X,0   , (4) безразмерный коэффициент теплопроводности   Xλ описывается экспоненциальной зависимостью:   X exp a  , (5) причем параметр 0  a . Следовательно, коэффициент теплопроводности λ материала условно замещенного тела монотонно возрас- тает от центра пластины к ее поверхности. При этом очевидно, что динамика изменения λ от величины про- странственной координаты X согласно формуле (5) зависит от параметра a . В ранее опубликованной работе авторов [7] был подробно рассмотрен только частный случай ( 1  a ). Представленная статья существенно расширяет возможности рекомендуемого метода за счет того, что может быть задан любой коэффициент a . Для нахождения собственных функций и собственных значений сформулированной задачи (1) – (5) необходимо провести исследование следующей задачи [8; 9]:   0 e dX d 2   y y ax , (6) 0  y при 0X  , (7) y y Bi  при 1X  . (8) Вариант, когда 0  a , хорошо изучен в классических работах [4; 10]. Поэтому практический интерес представ- ляют случаи, когда 0  a . Очевидно, что дифференци- альное уравнение (6) можно представить в виде: 0 e 2     y ya y ax . (9) Если ввести новую пространственную координату Z , используя соотношение: 2 e ax Z   , (10) то зависимость (9) преобразуется к виду: 0 1 2    y y Z y , (11) где принято обозначение: a   2 . (12) Затем, вводя подстановку типа: UZ y   , (13) удается уравнение (11) привести к виду: 0 1 1 2 2          U Z U Z U . (14) Это выражение относится к классу уравнений Бес- селя [11–17], общее решение которого может быть за- писано в форме:       Z BY Z JCU     1 1 , (15) где   Z J  1 и   Z Y  1 являются соответственно функ- циями Бесселя первого и второго рода первого поряд- ка. Подробные таблицы значений этих функций при- ведены во многих справочных пособиях, например [11–15]. С учетом (10), (13) и (15) искомый интеграл уравне- ния (9) запишется в виде: