Systems. Methods. Technologies 2 (42) 2019

Systems Methods Technologies. V.A. Koronatov. The finale of Painleve’s … 2019 № 2 (42) p. 44-48 46 ния скольжения вместо применяемой формулы (1) сле- дует использовать следующую зависимость: . fP |F F, br FF        0 0 0 (3) Здесь  , — соответственно скорости скольжения и качения;   b, коэффициенты аппроксимации, кото- рые определяются экспериментально; знак модуля учитывает возможность изменения направления вра- щения в общем случае. Заметим, что когда 0  реак- ция со стороны цилиндра определяется как PN  , что соответствует коэффициенту трения покоя 0  f . Предполагается, что направление вращения цилиндра неизменно, и для случая «буксование цилиндра на мес- те», когда скорость проскальзывания в точке B равна r  , вместо зависимости (3) следует использовать формулу:      1 br r fP F . (4) Введенная зависимость (4) означает переход от ли- нейной модели тормозной колодки к нелинейной. В пользу такого перехода говорят и экспериментальные данные, приведенные в работе Т.Б. Ивановой с соавто- рами [9], опубликованной на страницах журнала «Док- лады Академии наук». В этой работе были замечены варианты отрыва (отскоки) колодки от цилиндра при работе вблизи критических значений параметров. Экс- периментальные данные говорили также о нелинейной зависимости угловой скорости цилиндра от времени. Перечисленное было невозможно объяснить в рамках прежней, линейной, модели тормозной колодки. Отрыв колодки, если допустить значительное увеличение си- лы трения, например, вследствие зазубренности по- верхностей цилиндра и колодки, становится весьма очевидным и без эксперимента. Именно такие « мыс- ленные эксперименты » и позволили автору по-новому взглянуть на обсуждаемую проблему. Из уравнения равновесия колодки, с учетом соот- ношения (4), следует, что:   . 1 1           br r f d h PN (5) Полученные результаты в виде зависимостей (4) и (5) закрывают вопрос о возможности парадокса Пенле- ве. Дифференциальное уравнение вращательного дви- жения цилиндра запишется в виде:   , 1      br r rfP M dt dI что говорит о нелинейном законе изменения частоты вращения  , а не о равнопеременном, как это счита- лось ранее ( I — момент инерции цилиндра). Это нахо- дит подтверждение в работе Т.Б. Ивановой с соавтора- ми. В этой работе экспериментальные данные указы- вают именно на нелинейную зависимость для частоты вращения, а не на линейную, к которой авторы статьи пытались «подогнать», используя метод наименьших квадратов. К этому их подталкивало привычное при- менение формул (1) и (2), используемых для нахожде- ния сил трения скольжения и реакции и приводящих к равнопеременному вращательному движению цилинд- ра. Возможный удар и подпрыгивание колодки при этом становятся весьма очевидными при большом зна- чении коэффициента трения f и (или) прижимной силы P . В прежнем варианте отмеченное было не столь очевидно. Вращающийся диск, вжимаемый в угол. На рис. 2 представлена следующая классическая система, приводящая к парадоксу Пенлеве [13–15]: диск, вра- щающийся под действием момента M и вжимаемый в угол постоянной силой P . Здесь предполагается, что направляющая L гладкая, а направляющая K — ше- роховатая, с коэффициентом трения f (  — угол ме- жду направляющими; N,R — реакции, действующие на диск со стороны направляющих;  — угловая ско- рость вращения диска). Рис. 2. Вращающийся диск, вжимаемый в угол Тогда, полагая, что диск буксует на месте, сила ре- акции N определяется так: . f tg P N   (6) Выражение (6) говорит о том, что при 0  f tg сила реакции N может быть тоже отрицательной — это будет выражать парадокс Пенлеве для данного случая. Здесь, по мнению автора, причина парадокса та же — неправильное применение закона Кулона при нахождении силы трения скольжения, возникающей между буксующим диском и шероховатой поверхно- стью. Если, как и для тормозной колодки, применить качественно новую теорию качения и формулу (3), то все нормализуется. Для данного случая в формуле (3) следует принять, что     fPctg |F F 0 0 . Тогда полу- чается:   . br r f tg tg P N            1 2 (7)