Systems. Methods. Technologies 2 (42) 2019

Системы Методы Технологии. В.А. Коронатов. Финал парадокса … 2019 № 2 (42) с. 44-48 45 шенство. Обычно молчаливо предполагается несовер- шенство самого закона Кулона, так как для некоторых задач, таких, например, как тормозная колодка [4–12], принимаемая модель весьма проста и очевидна, и с ее выбором, казалось бы, трудно ошибиться. Попытки усовершенствовать или обобщить закон Кулона пока не дали результатов, по крайней мере, в рамках обыч- ной классической механики. Парадоксу Пенлеве по- священо много исследований, например, помимо на- званных выше, работы [13–21]. Мнение автора по данному вопросу следующее. Как представляется, сомневаться в справедливости закона Кулона нет оснований — экспериментальные данные, указывающие на это, отсутствуют, а те результаты тео- ретических расчетов, которые не всегда корректны, — это, скорее всего, изъяны принятой модели или непра- вильного применения законов Кулона. О том, что зако- ны Кулона не всегда правильно применяются, говорят, например, недавние работы автора [22–25], где это до- казано для тел с комбинированной кинематикой дви- жения. Существенно также, что применение результа- тов, полученных в этих работах, позволяет, по сути, переходить от линейных к нелинейным динамическим моделям. Переход к новым нелинейным моделям по- зволяет получать качественно новые результаты по- добно тому, как это наблюдалось, например, ранее при развитии теории колебаний. Как следствие, следует ожидать, что при переходе к нелинейной системе будут исчезать и парадоксы Пенлеве. Последнее наглядно продемонстрировано в данной статье на примере двух классических систем — тормозной колодки и диска, вращающегося под действием момента и вжимаемого в угол постоянной силой. Модель тормозной колодки. Классическая модель тормозной колодки показана на рис. 1. Рис. 1. Классическая модель тормозной колодки Здесь вращение цилиндра вокруг неподвижной оси создается моментом M двигателя и тормозится колод- кой посредством прижимной силы P . Предполагается, что момент M , а значит, и вращение цилиндра, на- правлены против часовой стрелки. Шарнирно закреп- ленная в точке O колодка, имеющая возможность со- вершать только вращательное движение, испытывает противодействие со стороны цилиндра в виде нор- мальной реакции N и силы трения скольжения F . Си- ла трения определяется согласно закону Кулона: fN F  , (1) где f — коэффициент трения. Размеры hd , опреде- ляют соответственно место приложения силы P и ши- рину колодки;  , r — радиус и частота вращения ци- линдра. Предполагая, что колодка находится в безотрывном положении по отношению к цилиндру, уравнение ее равновесия для моментов относительно шарнира O запишется в виде:   0    Fh dPN , откуда следует, что: . fh d Pd N   (2) Парадокс Пенлеве. Именно последнее равенство (2) и дало повод говорить о парадоксе Пенлеве. Здесь при 0   fh d полученный результат означает, что реакция N положительна — что ожидаемо — и вопро- сов не вызывает, однако случай, когда 0   fh d , при- водит к отрицательной реакции — это не может соот- ветствовать действительности. В работах В.Ф. Журав- лева [4–8] этот случай объясняется тем, что тормозная колодка как бы превращается в клиновой стопор, и вращение цилиндра становится невозможным, а чрез- мерные попытки осуществить вращение в этом случае приводят к поломке механизма. С этим можно согла- ситься только перед началом вращения цилиндра, но как быть, если вращение уже шло, а колодку с такими параметрами стали прижимать? Заклинивание или по- ломку здесь трудно ожидать, тем более, если при этом прижимная сила P незначительна по величине. В работе В.А. Самсонова [11] одна из возможных причин возникновения парадокса Пенлеве объяснялась возможностью возникновения « удара трением », что приводит к кратковременному бесконечно большому значению силы трения. Правда, предположение об « ударе трением » на рассматриваемой модели тормоз- ной колодки выглядит не столь убедительно. Заметим, что в случае, когда 0   fh d , будет либо 0  P , либо 0  d , что соответствует тому, что . N 0  Решение парадокса Пенлеве. По мнению автора, отмеченные выше некорректности для тормозной ко- лодки, согласно формуле (1), были получены из-за не- правильного применения закона Кулона при нахожде- нии силы трения скольжения, возникающей между ко- лодкой и вращающимся цилиндром. Согласно качест- венно новой теории качения [23–25], использующей метод кинематических зон, при нахождении силы тре-