Systems. Methods. Technologies 4 (40) 2018

Systems Methods Technologies. S.P Kruglov et al. Automatic assistance system … 2018 № 4 (40) p. 47-54 50 его зафиксировать, то при 0 пр ≡Ψ∆  текущее значение угла сцепки будет находиться в балансировочном поло- жении: const бал ≡ θ=θ ∆ , или объект «автомобиль– при- цеп» будет находиться в установившемся развороте, при- чем как при движении вперед, так и назад; )cb(a ) ( + = =θλ=λ ∆ 0 0 —параметр линеаризации функции ) ( θ ϕ бал около точки 0 =θ ; 2 2 бал cos sin cos )c b( ) a( ) c b(a d ) ( d ) ( +θ + θ θ + = θ θ ϕ =θλ ∆ — производная функции ) ( θ ϕ бал по своему аргументу. Заметим, что в принятых условиях 0 >θλ ) ( , т.е. функ- ция ) ( θ ϕ бал является возрастающей. Используя подход по выводу уравнения (7), можно найти зависимость, обратную к ) ( θ ϕ бал : ( ) 0 2 2 бал arcsin tg arctg tg tg arcsin λ ϕ ≈ ϕ + ϕ + ϕ = θ a b b a c . (9) Изучим динамику изменения угла θ в соответствии с равенством (7) при движении объекта «автомобиль– прицеп» вперед ( 0 авт > V ) и отсутствии внешнего воз- мущения ( 0 пр ≡Ψ∆  ).Для этого вначале рассмотрим случай, когда значение угла управляемых колес авто- мобиля удовлетворяет условиям: ) ( θ ϕ< ≡ϕ бал const . Из зависимости (7) следует, что это порождает 0 <θ  , т. е. уменьшение угла θ . Поскольку функция ) ( θ ϕ бал возрастающая, при этом будет уменьшаться и сама эта функция. Это будет продолжаться до тех пор, пока не наступит равенство ϕ= θ ϕ ) ( бал бал . Если теперь при тех же условиях принять ) ( θ ϕ> ≡ϕ бал const , то из (7) следует 0 >θ  , т.е. увели- чение угла θ . Но это увеличение должно быть ограни- чено величиной  90 max бал < θ≤ θ , иначе функция ) ( θ ϕ бал станет убывающей, и возникнет неустойчи- вость. Следовательно, для устойчивости движения вперед требуется выполнение условия  90 max бал < θ≤ θ . От- сюда, на основании значения функции ) ( θ ϕ бал по (8) и возрастающего характера этой функции в указанных пределах, можно сформулировать требование: max 0 max max max sin cos sin arctg θ λ≈ θ + θ = ϕ b c a . (10) Это требование можно интерпретировать как огра- ничение размаха управляющих отклонений управляе- мых колес ( max ϕ ) при заданных кинематических пара- метрах либо при заданном параметре max ϕ ограничить параметр с —длину прицепа. Так, если в пределе счи- тать  90 max = θ , то по первому случаю: )ca( arctg max = ϕ , а по второму: max tg ϕ < a c . Далее будем считать, что max ϕ задан и представля- ет собой конструктивное ограничение отклонений управляемых колес, а параметр с удовлетворяет тре- бованию (10), например, для  30 max = ϕ справедливо a . c 731 < . Тогда можно считать, что при движении вперед и отсутствии внешнего возмущения движение по углу сцепки всегда устойчиво. Также следует отме- тить, что при этом скл max θ= θ , где последний опреде- ляется по (9): ( ) . a b b a c 0 max max 2 max 2 max max скл arcsin tg arctg tg tg arcsin λ ϕ ≈ ϕ + + ϕ + ϕ = θ= θ (11) Если же автомобиль движется назад ( 0 авт < V ) с те- ми же условиями —из подобных рассуждений следует, что система точно неустойчива, чем объясняются все проблемы управления таким движением. При этом уравнение (7) будет иметь вид: ( ) пр бал sin Ψ∆−ϕ−θ ϕ ⋅θ =θ   ) ( ) (k . (12) Из полученных соотношений (4) и (5) можно найти кривизну пути прицепа ( κ ) при отсутствии внешнего возмущения: ( ) ϕθ +θ ϕθ −θ = Ψ = =κ tg sin сos tg cos sin пр пр 1- пр b ac b a V R  . (13) Найдем также кривизну пути прицепа на устано- вившемся движении (повороте) с заданным значением 0 const ≠ ≡ϕ в отсутствие внешнего возмущения. Из выше изложенного следует, что этому движению соот- ветствует const бал = θ=θ по (9). Значение кривизны пути прицепа для этого случая также назовем баланси- ровочным значением ( бал κ ). Из (8) и (13) непосредст- венной подстановкой несложно найти: бал бал бал бал cos sin ηθ≈ θ + θ = κ cb , (14) где )cb( + =η ∆ 1 —коэффициент пропорциональности. Приблизительная зависимость равенства получена ли- неаризацией около 0 бал = θ . Уравнения (1)–(14) с принятыми допущениями опи- сывают кинематические и связанные с ними динамиче- ские соотношения объекта управления «автомобиль– прицеп», необходимые для синтеза закона управления при движении задним ходом. Приблизительные равен- ства в соотношениях по (8), (9), (11) в силу их опреде- ления точно описывают соответствующие им зависи- мости в области нулевого значения углов. При увели- чении модуля углов погрешность увеличивается, но, как показывают расчеты для типовых практических