Systems. Methods. Technologies 4 (40) 2018

Системы Методы Технологии. С.П. Круглов и др. Автоматическая система … 2018 № 4 (40) с. 47-54 49 θ —угол сцепки, или угол отклонения продольной оси прицепа от продольной оси автомобиля. Примем, что  90 max < θ≤θ , где max θ —максимально возможное значение модуля угла сцепки, реализуемое системой управления. Значение модуля угла сцепки, при превы- шении которого во время движения назад начинается непроизвольное его увеличение с невозможностью компенсации из-за ограниченности ϕ , называется уг- лом складывания( скл θ ); пр авт Ψ Ψ , —угол поворота автомобиля и прицепа соответственно от какого-то направления, например, заданного (на рис. 1обозначено вертикальной линией); пр авт V, V —соответственно скорость автомобиля и прицепа. Скорость автомобиля будем измерять по управляемым колесам в соответствии с углом ϕ с точ- кой приложения в центре оси вращения управляемых колес; пр 0 —центр вращения прицепа на повороте; п-a 0 —точка вращения прицепа относительно авто- мобиля, точка сцепки; пр R —радиус вращения прицепа, измеряемый вдоль оси вращения колес прицепа (эффективной оси для многоосного прицепа); c,b,a —кинематические параметры объекта управ- ления «автомобиль– прицеп» ( c,a —положительные ненулевые числа), соответственно колесная база авто- мобиля, или расстояние между осями вращения колес автомобиля; смещение сцепки, или расстояние от оси заднего моста автомобиля до точки сцепки; длина при- цепа, или расстояние от точки сцепки до оси вращения колес прицепа (эффективной оси).Отметим, что обыч- но b a > , b c > . Примем также, что если 0 < b , то b c >> . Дополнительное требование к параметру c оп- ределится ниже; пр Ψ∆  —угловая скорость прицепа, появляющаяся из-за внешних неконтролируемых возмущений, напри- мер, наличие существенных неровностей дороги, пере- менная плотность почвы, возникающая на пашне, на заснеженной поверхности, на песке и др.Будем считать эту величину ограниченной. Для составления математического описания объекта управления «автомобиль– прицеп» приняты следую- щие допущения: • автомобиль движется с относительно низкой ско- ростью; • не будут учитываться боковой увод и боковой юз автомобиля; • не учитывается динамика движения, в частности, получаемые соотношения не зависят от ускорений. Известно, что угловая скорость автомобиля опреде- ляется зависимостью [2]: ϕ =Ψ sin авт авт a V  . (2) По схеме на рис.1 можно определить, что: θ−Ψ=Ψ авт пр . (3) На точку сцепки при движении автомобиля дейст- вуют два вектора линейной скорости: вектор поступа- тельного движения автомобиля ( ) ϕ cos авт V , соответст- вующий продольной скорости автомобиля, и вектор ( ) b авт Ψ  , соответствующий вращательному движению автомобиля. Исходя из этих векторов, определим ли- нейную и угловую скорость прицепа. Через проекции указанных векторов на продольную ось прицепа най- дем скорость прицепа: θ ⋅ Ψ+θ ϕ = sin cos cos авт авт пр b V V  . Подставляя сюда выражение для авт Ψ  по зависимо- сти (2), найдем:       θ ϕ +θ ϕ = sin sin сos cos авт пр a b V V . (4) Угловая скорость прицепа определяется вектором линейной скорости ( ) с пр Ψ  , перпендикулярным про- дольной оси прицепа (см. рис.1). Из кинематической схемы ясно, что при 0 пр ≡Ψ∆  : θ ⋅ Ψ−θ ϕ =Ψ cos sin cos авт авт пр b Vс   . Также, делая подстановку по (2) и учитывая ненулевое в общем случае возмущающее воздействие, найдем: пр авт пр cos sin sin cos Ψ∆+      θ ϕ −θ ϕ =Ψ   a b c V . (5) Поскольку из (3) следует, что пр авт Ψ−Ψ=θ    , по за- висимостям (2) и (5) несложно определить скорость изменения угла θ : ( ) пр авт cos sin sin cos sin Ψ∆−θ ϕ +θ ϕ −ϕ =θ   b a c ac V . (6) Используя известную формулу сложения тригоно- метрических функций: ( ) ) ( αβ +γ β+α=γ β+γ α arctg sin cos sin 2 2 и комбини- руя синусы и косинусы по ϕ , можно представить (6) в виде: ( ) пр бал авт sin sign Ψ∆−ϕ−θ ϕ ⋅θ −=θ   ) ( ) (k) V( , (7) где ( ) 2 2 авт 1 sin cos ) a( bс V)ac( ) (k θ +θ + =θ − ∆ — положительный коэффициент усиления (утверждение о положительности легко установить из принятых условий); ( ) θ λ≈θ + θ =θ ϕ ∆ sin ) cos ( sin arctg )( 0 бал bс a (8) —балансировочная зависимость угла управляемых колес автомобиля по углу θ ; или значение ϕ такое, что если