Systems. Methods. Technologies 4 (40) 2018

Systems Methods Technologies. N.V. Kravchenko et al. Improving the frame … 2018 № 4 (40) p. 40-46 42 Уравнение нормали OH к касательной IH имеет вид: = tg(γ) ∙ . (1) Уравнение окружности с центром в точке О (0;0): + = . (2) Координаты точки касания H ( , ) нахо- дим,решив систему уравнений: = tg(γ) ∙ + = (3) Определяем координаты точки I. Для этого запишем уравнение касательной в общем виде: ( − ) = ( − ) . (4) Параметр определяется отношением: = − . (5) Учитывая геометрические особенности профиля зу- ба, а также формулу (5), можем записать: (ℎ − ) − = − ∙ ( − ) . (6) Решив уравнение (6), определяем значения коорди- нат и = ℎ − . Составим уравнение касательной IH : ( ) ( ) = ( ) ( ) . (7) Координаты точки А : = − ; = ℎ − . Уравнение прямой АВ : = tg(−α) ∙ . Длину отрезка АВ можно представить уравнением вида: ( − ) + ( − ) = . (8) Решая совместно систему уравнений (9), определя- ем координаты точки В ( , ): = tg(−α) ∙ ( − ) + ( − ) = (9) Составим уравнение прямой АВ: ( ) ( ) = ( ) ( ) . (10) Для нахождения касательной BD необходимо соста- вить и решить систему четырех нелинейных уравне- ний: ⎩⎪⎨ ⎪⎧ ( − ) = − ∙ ( + ) ∙ + ∙ = + = = − ∙ (11) Для решения системы уравнений (11) используем метод Ньютона [15], представляющий собой итераци- онный алгоритм вида: = − ( ) ∙ ( ) , (12) где — -е приближение вектора решений; ( )— обратная матрица Якоби; ( ) —вектор решений, рас- считанный на основании приближения по уравнени- ям системы. Для системы уравнений (11) имеем матрицу Якоби вида: ( ) = ⎝ ⎜⎜⎜⎛ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎠ ⎟⎟⎟⎞ (13) Итерационный процесс заканчивается при выпол- нении условия: | − | ≤ ε , (14) где ε — заданная точность решения. В результате произведенных итераций окончатель- но получаем вектор решений системы (11): = . (15) Уравнение искомой касательной BD имеет следую- щий вид: ( ) ( ) = ( ) ( ) . (16) По полученным аналитическим уравнениям строим профиль зуба рамной пилы (рис. 2). Расчет площади межзубовой впадины выполняется в программе Mathcad согласно расчетной схеме (рис.1), путем сложения площадей составляющих ее фигур. Далее с применением метода наименьших квадра- тов в результате твердотельного моделирования в про- грамме SolidWorks[16] были получены математические модели, описывающие основные параметры рамной пилы: –площадь межзубовой впадины — ( , , , , ) ; –продолжительность работы пилы — (σ max ,σ min ) ; –устойчивость зуба пилы, которая соответствует величине отклонения зуба при воздействии нагрузки по задней его грани — ( , , , , ) . Аргументами данных функций являются: — высота зуба рамной пилы; —длина ломаной задней грани зуба пилы; —радиус межзубовой впади- ны; —задний угол; —передний угол; σ max и σ min — максимальное и минимальное напряжения, характери- зующие напряженно-деформированное состояние рам- ной пилы в процессе резания и при холостом ходе со- ответственно, влияющие на продолжительность работы пилы при переменных напряжениях.