Systems. Methods. Technologies 4 (40) 2018

Системы Методы Технологии. А.В. Питухин. Оценка возможности … 2018 № 4 (40) с. 26-31 29 Предельное состояние описывалось с применением катастрофы сборки (1), которую мы и рассмотрим, но уже с позиций теории возможностей, поскольку ин- формация о распределении случайных переменных ограниченна (законы распределения случайных вели- чин неизвестны). Теория возможностей описана доста- точно подробно и использовалась в работах [2; 3; 6; 7; 27], в том числе и для оценки показателей надежности деталей машин и строительных конструкций. Однако теория катастроф при этом не применялась. Результаты. Независимые переменные a и b в общем случае зависят от параметра (времени), и со- стояние объекта будет определяться нестационарной случайной функцией ), ,( tbaD . Полагаем, что момент времени зафиксирован, и дискриминант является слу- чайной величиной. Как уже говорилось, катастрофа происходит, когда траектория точки ),( ba покидает область I , и при этом D меняет знак с отрицательного на положительный. Пусть a и b — случайные величины с из- вестными средними, но неизвестными законами рас- пределения. Условие наступления предельного состоя- ния, т. е. возникновения катастрофы сборки: 0 ~ 27 ~4 2 3 ≥ + = b a D . (3) Отсутствие катастрофы сборки определяется усло- вием: 0 ~ 27 ~4 2 3 < + = b a D . Волной сверху обозначены «возможностные» пере- менные, т. е. переменные, информация о которых не- полная или неточная, и законы их распределения неиз- вестны. В теории нечетких множеств они называются «нечеткими» переменными. В дальнейшем определим меру возможности воз- никновения катастрофы сборки Q и меру возможности отсутствия катастрофы сборки R , а также меру необ- ходимости отсутствия катастрофы сборки N . Введем нечеткую функцию )( dD от нечетких пе- ременных a ~ и b ~ , определяющих дискриминант D с позиций теории возможностей: 2 3 ~ 27 ~4 )( b a dD + = . (4) Полагаем известными функции распределения воз- можностей управляющих переменных: [ ]   − − = π 2 ~ ) ( exp )( a a a h ma a , (5) [ ]   − − = π 2 ( exp )( b b b hmb b , (6) где a m , b m , a h , b h — параметры функции распределе- ния возможностей; a m и b m определяют средние значения; a h и b h характеризуют рассеяние парамет- ров a и b . Функция распределения возможностей для дискри- минанта имеет вид: [ ]       − − = π 2 ) ( exp )( d d D h md d , (7) где d m и d h — параметры, подлежащие определению. Воспользуемся для этого известной методикой [2; 27]. Обратная функция: β± =α− ± == π − d d d d D h m h md d ln )( 1 . (8) ) exp( )( 2 β− = π=α d D . (9) α−=β ln . (10) Иллюстрация общего вида функции распределения возможностей )( d D π нечеткой переменной D , а так- же Q , R и N представлена на рис. 2. Рис. 2. Функция распределения возможностей нечеткой пе- ременной D По принципу обобщения Л. Заде [2]: 2 3 ) (27 ) (4 β− +β− = b b a a h m h m d . (11) Перед a h и b h берется знак «минус», так как функ- ция )( dD от аргументов a и b возрастающая [27]. Условие возникновения катастрофы сборки с уче- том (3) и (11): 0 ) (27 ) (4 2 3 ≥β− +β− = b b a a h m h m d . (12) В выражении (12) неизвестны аргументы β и d . Для полного решения задачи находим d m , затем α и d h . Положив 0 =β из уравнений (8) и (11), находим: 2 3 27 4 b a d m m m + = . (13) Значение β , что при 0 = d соответствует условию перехода системы в состояние неустойчивого равнове- сия и последующего наступления катастрофы, опреде- ляем путем решения кубического уравнения (11) или (12), положив 0 = d .        