Systems. Methods. Technologies 4 (40) 2018

Systems Methods Technologies. A.V. Pitukhin. Evaluation of the possibility … 2018 № 4 (40) p. 26-31 28 применение в расчетах надежности элементов конст- рукций [1; 3; 4; 7]. Методы. Катастрофами считают качественные из- менения системы, происходящие при плавном варьи- ровании влияющих на ее поведение внешних условий [22]. К предвестникам теории катастроф можно отне- сти работы Л. Эйлера по устойчивости стержней, тру- ды по теории бифуркаций А. Пуанкаре и А. Андронова, теорию особенностей Х. Уитни. Создателями матема- тической теории катастроф являются советский мате- матик, академик В.Н. Арнольд [22] и французский ма- тематик Рене Том [23]. Существенный вклад внесли Е. Зиман [24], Т. Постон и И. Стюарт [25]. Следует от- метить работы Дж.М.Т. Томпсона [20; 26], характери- зующиеся простотой и наглядностью примеров. Теория катастроф нашла применение при решении задач оценки показателей надежности для случая нали- чия полной статистической информации о нагрузках и несущей способности [14–19]. Алгоритм применения теории катастроф достаточно известен [21] и в сокра- щенном виде представлен ниже. Пусть известна математическая модель исследуемо- го объекта, которая представлена при помощи опреде- ленного числа независимых переменных (аргументов, управляющих параметров, входных переменных). Со- стояния равновесия объекта образуют поверхность в упомянутом пространстве независимых переменных. Проекция поверхности равновесий на плоскость неза- висимых переменных может иметь особенности. В та- ком случае теория особенностей предсказывает гео- метрию «катастроф», т. е. перескоков из одного со- стояния равновесия в другое при изменении управ- ляющих параметров. Теория катастроф объяснила за- висимость экспериментально наблюдаемых форм неус- тойчивости от числа этих независимых переменных. Наиболее широко применяется в практических це- лях, как говорилось выше, катастрофа сборки [25], по- тенциальную функцию которой можно записать [19]: bx ax x x V ab + + = 2 4 2 1 4 1 )( . Многообразие M катастрофы определяется из- вестным уравнением: b ax x x V dx d ab + + = = 3 )( 0 . (1) На рис. 1 представлены поверхность равновесия (или многообразие катастрофы) и ее проекция на плоскость ab , определяющую управляющие параметры a и b . Как уже подчеркивалось ранее, в качестве управ- ляющих параметров в зависимости от условий задачи могут непосредственно выступать напряжения, дефор- мации, жесткость, температура и др. Либо, в общем случае, эти параметры могут являться некоторыми функциями от указанных физических величин. Точка ),( ba в своем движении постепенно меняет координаты a и b , описывая траекторию на плоско- сти ab . При этом наблюдаемое положение равновесия пройдет путь в M , лежащий над путем в ab . Из-за складок поверхности равновесия M этому пути, воз- можно, придется перескакивать с одного листа поверх- ности на другой. Такой перескок необходим, поскольку точки многообразия M , расположенные на внутрен- ней поверхности складки, соответствуют неустойчиво- му состоянию объекта. Этот весьма быстрый и внезап- ный перескок объекта (катастрофа) реализуется лишь в случае покидания области I , что объясняется отсутст- вием выбора (принцип максимального промедления ( perfect delay ) Тома). Следовательно, гладкие измене- ния независимых переменных a и b могут привести к скачкообразным изменениям исследуемой системы (переменной состояния x ), называющимся катастро- фами. Траектория движения точки на ab совместно с траекторией на поверхности равновесия M показана на рис. 1. Рис. 1. Катастрофа сборки Кубическое уравнение (1) имеет от одного до трех вещественных корней. Природа этих корней зависит от дискриминанта: 2 3 27 4 b a D + = . (2) При E ba ∈ ) ,( имеется только один вещественный корень )0 ( > D . Следовательно, катастрофа происходит в случае, когда траектория точки ),( ba покидает область I и входит в область E. При этом дискриминант D меняет знак с минуса на плюс. Известно, что изменения независимых переменных могут быть случайными. Случайными являются на- грузки, размеры элементов конструкций вследствие их рассеяния в пределах полей допусков, размеры трещи- ноподобных дефектов, механические свойства мате- риалов и т. д. Поэтому вопросы расчета и проектирова- ния элементов конструкций при наличии случайных возмущающих факторов и с позиций теории катастроф были рассмотрены в работах автора и соавторов [14– 19]. При этом законы распределения случайных вели- чин полагались известными. прыжок M x E 1 B 2 B I P a b