Systems. Methods. Technologies 4 (40) 2018

Системы Методы Технологии. А.В. Питухин. Оценка возможности … 2018 № 4 (40) с. 26-31 27 Evaluation of the possibility of cusp catastrophe occurrence with incomplete statistical information A.V. P tukhin Petrozavodsk State University; 33, Lenin Ave., Petrozavodsk, Republic of Karelia pitukhin@petrsu.ru https://orcid.org/0000-0001-6417-5940 Received 10.10.2018, аccepted 31.10.2018 Improvement of probabilistic and statistical methods in engineering calculations is an actual problem. Most methods assume that the distribution functions of the control variables included in the corresponding mathematical models are known. At the same time, in some cases there is not enough statistical information about the control variables, in other words, there is incomplete information, which determines the direction of further research. From a set of methods of decision used at the limited information, the method based on the possibility theory with use of the Zadeh’s extension principle as the most tested in case of availability of incomplete information on control parameters is chosen. The methods of the theory of catastrophes are used as the basis for building the limit state models. Qualitative changes that occur in the form of a sudden response of the system to a smooth change in external conditions are called ca- tastrophes. Of the seven elementary catastrophes, the cusp catastrophe describing the state of unstable equilibrium of the system at two independent variables was chosen. Based on the theory of possibilities and using the theory of catastrophes, a method has been devel- oped for estimating the measure of the possibility of assembly catastrophe, a measure of the need for an assembly to not crash and a measure of the possibility of an assembly not fail. In addition to solving the problems of reliability theory, the proposed method can be applied in engineering calculations with loss of stability of structures, transfer of materials from one state of aggregation to another, phase transitions in metals and alloys, the emergence of critical material brittleness at low temperatures, and others. Further ways of improving the proposed method are determined. Keywords : possibility measure; engineering calculations; cusp catastrophe; incomplete information. Введение Вероятностно-статистические методы расчета дета- лей машин и элементов конструкций в достаточной степени разработаны и применяются в инженерной практике. Предполагается при этом, что статистическая информация о свойствах материала, размерах и форме, действующих нагрузках и других параметрах, влияю- щих на работоспособность деталей машин, является полной, т. е. законы распределения случайных величин известны, и с их помощью можно с требуемой точно- стью осуществлять проектировочные и поверочные расчеты, определить показатели надежности, напри- мер, вероятность безотказной работы. Однако на прак- тике достаточно сложно получить полную статистиче- скую информацию о характере и уровне действующих нагрузок, поскольку условия эксплуатации машин весьма варьируются и зависят от множества природ- ных, социальных и индивидуальных факторов. Харак- теристики несущей способности материалов в силу существенной зависимости от особенностей техноло- гических процессов их изготовления и условий экс- плуатации, например, температурных, также не полно- стью определены, и законы их распределения зачастую неизвестны. Поэтому при наличии неполной статисти- ческой информации традиционные вероятностно- статистические методы не приведут к правильному результату, и можно использовать, например, методы теории возможностей [1–7]. При ограниченной инфор- мации хорошие результаты дает также теория свиде- тельств Демпстера и Шейфера [6; 8; 9], применяется байесовский подход [6], методы интервальных средних [10–12], а так же методы на основе распределений, по- лученных из неравенства П.Л. Чебышева [13]. Следует отметить фундаментальный труд Л.В. Уткина [6], где подробно проанализированы существующие теории и особенности их применения. Указанные методы ис- пользовались для расчетов надежности, основанных на уравнениях деталей машин и сопротивления материа- лов, а также строительной механики, где для учета влияния трещин применялись деформационные крите- рии [5; 7]. В отличие от традиционных подходов в ря- де статей автора и соавторов [14–19] в основу построе- ния моделей предельного состояния положены методы теории катастроф, обладающие известными преимуще- ствами, например, универсальностью. В качестве осно- вы использовалась катастрофа сборки, как имеющая наиболее существенное значение для практических целей [19–21]. Информация же о действующих напря- жениях и свойствах материалов при этом предполага- лась полностью заданной и описывалась методами тео- рии вероятностей и математической статистики. По- этому целью данной статьи является создание метода оценивания возможности возникновения катастрофы сборки при неполной статистической информации об управляющих параметрах. В качестве управляющих параметров могут выступать нагрузки, деформации, перемещения, температура, жесткость, физико- механические свойства материалов и др. Для модели- рования неопределенности целесообразно использо- вать элементы теории возможностей, наиболее широко применяемой в теории управления и нашедшей свое