Systems. Methods. Technologies 4 (40) 2018

Systems Methods Technologies. A.V. Romanov et al. Assessment of reliability … 2018 № 4 (40) p. 13-19 18 Определить функцию надежности системы, учиты- вающую переменные условия эксплуатации. По условию имеем ( ) t P t e  − = , ( ) 1 1 t P t e  − = . Тогда по формуле (4) получим функцию надежности системы: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 t t u x t c P t e H t e h x dx   − − − = + ∫ , где функция сдвига, как следует из (3), удовлетворяет соотношению: ( ) ( ) xux x e e − − − = 1   . Отсюда следует, что: ( ) 1 1 u x x     = −    . Подставляя это выражение в функцию надежности системы, получим: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 t t x t c P t e H t e h x dx     − + − − = + ∫ или: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 t x t t c P t e H t e e h x dx     − − − = + ∫ . (5) Из формулы (5) нетрудно показать, что вероятность безотказной работы системы уменьшается по сравне- нию с первоначальной вероятностью до отказа, т.е. ( ) ( ) c P t P t < , если вторичная интенсивность отказа 1  больше исходной интенсивности отказа  . Найдем среднюю наработку до отказа системы: ( ) ( ) 0 1 1 1 1 ˆ c c T P t dt h     ∞   = = + − ∫     , (6) где ( ) ( ) ∫ ∞ − = 0 ˆ dx exh h x   —преобразование Лапласа плотности ( ) xh . Если момент появления нагрузки имеет равномерное распределение на интервале [ ] 0, b , то ( ) 1 ˆ b e h b    − −= , и средняя наработка до отказа в зависимости от значения b варьируется в пределах от 1 1  до  1 . Графическая иллюстрация для значений 0,01  = ч – 1 и 02,0 1 =  ч –1 приведена на рис. 3. Рис. 3. Зависимость средней наработки до отказа c T от но- сителя равномерного распределения (значения b ) Так, при 0 b = средняя наработка до отказа 1 1 50 c T  = = ч, а при b → ∞ средняя наработка до отка- за 1 100 c T  → = ч. Пример 4. Пусть время безотказной работы имеет распределение Вейбулла с параметрами  и  до момента возникновения нагрузки и параметрами  и 1  после возникновения нагрузки. Момент появления нагрузки на систему имеет рав- номерное распределение на интервале от 0 до b . Из соотношения (3) для распределения Вейбулла получим: ( ) 1 x u x x     −    =         , откуда функция сдвига равна: ( ) 1 u x x    − = . На основе (4) получим: ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 1 1 , 1 , t u x t t c t u x b t e e dx при t b b b P t e dx при t b b       −    − −           −  −          − + ≤ ∫      =   > ∫   . Преобразуя это выражение и используя обозначе- ния для неполной гамма-функции, представим функ- цию надежности в виде: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , 1 1 1 1 , , t c t e b b t t I I при t b P t b t b t I I                            −        − + Γ +     −                   −   ≤                       = Γ +  −     −   −             −                   , при t b                    >              (7) Предположим, что система имеет распределение Вейбулла с параметрами 3  = и 1000  = ч. Под воз- действием некоторой нагрузки, произошедшей в слу- чайный момент времени, равномерно распределенной на промежутке от 0 до b ч, параметр масштаба изме- нился и стал равен 1 700  = ч. Требуется вычислить и сравнить значения функции надежности системы без учета и с учетом случайной нагрузки для двух значе- ний параметра 100 = b ч и 400 = b ч. Расчеты, проведенные по формуле (7), позволяют оп- ределить вероятность безотказной работы системы с уче- том воздействия случайной нагрузки, подчиненной рав- номерному распределению на интервале от нуля до b ч. 0 20 40 60 80 100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000