Systems. Methods. Technologies 4 (40) 2018

Системы Методы Технологии. А.В. Романов и др. Оценка надежности … 2018 № 4 (40) с. 13-19 17 ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 , , c P t при t t P t P t x при t t < =  − ≥  , (1) где x таково, что: ( ) ( ) 1 1 0 1 P t x P t − = . (2) Таким образом, величина сдвига определяется из уравнения (2), т.е. ( ) 71,0 72,0 ⋅ − − − = e e x , откуда 3,5 x = ч. Вероятность безотказной работы системы на рис.1 сов- падает с кривой ( ) 1 P t при 7 t ≤ ч, а при 7 t > ч она совпадает с кривой ( ) 2 P t x − . Рис. 1. График функции надежности системы, образованной стыковкой распределений (жирная линия) Пример 2. Начальный этап работы системы харак- теризуется нормальным распределением времени до отказа с математическим ожиданием 10 m = ч и сред- ним квадратическим отклонением 2  = ч. Под воздействием некоторых причин в момент вре- мени 1 9 t = ч (второй вариант— 1 11 t = ч) закон распре- деления времени до отказа изменился и стал экспонен- циальным с параметром 0,1  = ч 1 − . Требуется опреде- лить результирующий закон распределения времени работы системы с учетом изменившихся условий. Результирующий закон распределения будем искать по формуле (1), в которой параметр сдвига x вычисля- ется из соотношения (2). Тогда: ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 1 2 t m t t x e e dt     − − − − −∞ = − ∫ , или, используя обозначение функции Лапласа ( ) 2 2 1 2 x t t e dx  − −∞ Φ = ∫ , получим: ( ) 1 1 1 t x t m e   − − −   = −Φ     . Отсюда: 1 1 1 ln 1 t m x t    −    = + −Φ         . Зависимость функции надежности системы ( ) c P t от времени представлена на рис.2 для двух значений 1 9 t = ч и 1 11 t = ч. Рис. 2. График функции надежности системы На рис.2 отчетливо виден переход с кривой Гаусса на график функции экспоненциального распределения. Данный переход соответствует моментам времени 9ч и 11ч. Наблюдается также существенная зависимость функции надежности системы от указанных моментов. Надежность системы с нагрузкой, возникающей в случайный момент времени. Ограничимся случаем однократной нагрузки на систему, которая возникает в момент времени x , случайно распределенный на оси времени с плотностью ( ) h x . Согласно (1) вероятность безотказной работы системы с нагрузкой, возникшей в произвольный момент времени x , равна: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , , , P t при t x P t x P t u x при t x  ≤ =  − >  , где ( ) xu —параметр сдвига, определяемый соотноше- нием: ( ) ( ) ( ) 1 P x P x u x = − . (3) Поскольку момент времени x —случайная величи- на с плотностью ( ) xh , то вероятность безотказной ра- боты системы равна: ( ) ( ) ( ) 0 , c P t P t x h x dx ∞ = ∫ . Интегрируя, получим: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 t c t P t P t h x dx P t u x h x dx ∞ = + − ∫ ∫ , следовательно: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 t c P t P t H t P t u x h x dx = + − ∫ . (4) Пример 3. Предположим, что интенсивности отка- зов до и после возникновения нагрузки на систему по- стоянны и равны  и 1  соответственно. Момент воз- никновения нагрузки является случайным с плотно- стью ( ) h x .