Systems. Methods. Technologies 3 (39) 2018

Системы Методы Технологии. П.М. Огар и др. Применение упрощенной … 2018 № 3 (39) с. 7-13 9 где ∗ ∗ = 0 1 EE I e , ( ) ( ) 2 1 2 0 1 1 ν− ν− = I I e , 0 1 EE I = . Аналогичный результат с использованием жесткост- ной модели слоистого тела получен при внедрении же- сткого сферического индентора [12; 13]: R FE E 1 * 1 * 01 ⋅ = ; (10) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 01 0 1 2 3 01 01 2 5 1 1 1 1 0 0 0 −           ⋅       δ δ δ + δ − δ − = e R I K K K K K K K K F ; (11) ( ) e R I F − − ν−ν+ν=ν − 1 1 1 1 1 0 1 01 . (12) Как показали расчеты по выражениям (9) и (12), по- лученные результаты при нагружении слоистого тела осесимметричной распределенной нагрузкой и при внедрении в него сферического индентора отличаются не более чем на 1 %, поэтому в дальнейшем рекомен- дуется использовать 1 F . При выводе выражений (8) и (11) использовалось условие о равенстве перемещений для однородных тел в точке A [13]. В работах [16; 17] предложено новое решение для эффективного модуля упругости слоисто- го тела при нагружении его осесимметричной нагруз- кой для любых значений толщины покрытия, описы- ваемое более простым выражением, в котором: ( ) ( ) ( ) ( ) e I K K K K F ⋅δ +δ − = 0 1 1 1 01 1 0 0 . (13) Используем предложенный в [16; 17] подход для описания внедрения в слоистое полупространство сфе- рического индентора. Упрощенная модель слоистого тела при описа- нии внедрения сферического индентора. Рассмотрим контакт жесткой сферы радиусом R со слоистым полу- пространством (рис. 2). a ) b ) c ) Рис. 2. Расчетная схема контактирования ( а ) и схемы контакта сферы с однородными полупространствами, имеющими харак- теристики ν 1 ,  1 ( b ) и ν 0 ,  0 ( c ) Перемещение точки О (рис. 2 а ) может быть пред- ставлено в виде суммы перемещений покрытия и осно- вания под нагрузкой P: A ww w + = δ 0 . Схему (рис. 2 a ) можно представить в виде жестко- стной модели (рис. 3 а ). а ) b ) с ) Рис. 3. Моделирование слоистого полупространства: a — исходная схема слоистого полупространства (рис. 2); b , c — жесткостные схемы однородных полупространств Тогда перемещения: ( ) 0 1 0 s sP w + = , где s 1 , s 0 — жесткости слоя и основного материала, m pa P 2 π= . Рассмотрим внедрения сфер радиусом R в два одно- родных полупространства с упругими характеристика- ми 1 ν , E 1 и 0 ν , E 0 под нагрузками P 1 и P 0 (рис. 2 b и c ) Согласно данным [15], радиус площадки контакта сфе- ры с однородным полупространством: 3 1 4 3      = ∗ E PR a . (14) С учетом (4) и (14), сжатие однородного слоя тол- щиной δ (рис. 2 b ) определяем выражением: ( ) ( ) [ ] δ −         π = = ∗ δ 1 1 1 2 1 1 1 0 3 4 5.1 3 1 K K RPE P ww . (15) Соответствующая жесткость равна: ( ) ( ) [ ] δ −       π = = ∗ 1 1 1 2 1 1 1 1 0 3 4 5.1 3 1 K K RPE P w s . (16) Перемещение точки A 0 и соответствующая жест- кость 0 s равны: