Systems. Methods. Technologies 3 (39) 2018

Systems Methods Technologies. P.M. Ogar et al. The use of a simplified … 2018 № 3 (39) p. 7-13 8 Введение В настоящее время практически исчерпаны воз- можности повышения ресурса соединений деталей ма- шин за счет конструктивного исполнения или измене- ния сортамента материалов. Перспективным направле- нием улучшения герметизирующей способности уп- лотнительных соединений и характеристик узлов тре- ния, является нанесение на контактирующие поверхно- сти различных покрытий, или формирование модифи- цированных слоев [1]. Опыт эксплуатации соединений с покрытиями показывает, что толщина покрытия так- же определяет их эксплуатационные свойства [2]. От- сутствие теории взаимодействия шероховатых поверх- ностей с покрытиями не позволяет прогнозировать характеристики узлов трения и герметичности уплот- нений на стадии проектирования, что приводит к доро- гостоящим и трудоемким затратам. В рамках теории упругости наличие покрытия озна- чает, что упругое тело следует рассматривать с изме- няющимися значениями модуля упругости и коэффи- циента Пуассона в зависимости от расстояния до по- верхности [3]. Состояние проблемы . Контактные задачи для тел с покрытиями рассмотрены в работах [2 – 7 и др.], кото- рые можно разделить на три группы: аналитические, численные и численно-аналитические. Недостатком указанных работ являются трудности при использова- нии их результатов для решения практических задач трибологии и герметологии. Решение осесимметричной контактной задачи для упругого слоя, лежащего на же- стком основании приведено в работе [8] и может пред- ставлять практический интерес при использовании по- лимерных покрытий. Отдельную группу решения контактных задач состав- ляют инженерные методы основанные на представле- нии слоистого тела, как топокомпозита — конструкции с особыми механическими свойствами [9; 10]. В эту же группу следует отнести метод, основан ный на жестко- стной модели слоистого тела [11 – 14] . Перемещения точек внутрь однородного полу- пространства. Зависимость перемещения точек по оси симметрии от величины приложенной распределенной нагрузки положена в основу жесткостной модели слои- стого тела, поэтому рассмотрим однородное полупро- странство при нагружении его осесимметричной «гер- цевской» нагрузкой: ( ) 5.02 2 0 1 )( a r p rp − = , a r ≤≤ 0 , (1) где m p p 5.1 0 = , m p — среднее давление, общая на- грузка 2 a p P m π⋅ = . Перемещения точек по оси нагружения однородного полупространства при использовании потенциальных функций Буссинеску определяются выражениями [15]: ( )     ψ −ψν− π ν+= dz dz E u z 12 2 1 , ( ) ∫∫ ϕ =ψ s rdrd R rp 1 , 2 2 z r R + = . (2) С учетом выражения (1) и того, что ar =ρ и az z = , после интегрирования имеем:       + ⋅ + ⋅ π =ψ 2 12 2 0 1 1 ;5.2;5.1, 2 1 1 1 5.1 z F z ap , (3) где ( ) xcbaF ; ; , 12 — гипергеометрическая функция Гаусса. Подставляя выражение (3) в (2) и учитывая, что zad d dz d ψ=ψ , получим: ( ) νβ = ∗ , , 0 zK E ap u z (4) ( ) ( ) z z z z zK arcctg 1 1 arcctg ,5.0, − ν− ν + =ν , (5) где ( ) 2 * 1 ν− = E E . Упростим обозначения, приняв: ( ) ( ) 0 ,0 i i i K K =ν , ( ) ( ) δ =νδ i i i K K , . (6) Как показал анализ, функция ( ) zK в незначитель- ной мере зависит от значений коэффициента Пуассона. При этом ( ) 2 0 π= i K , при ∞→ z ( ) 0 → zK . Упругие характеристики слоистого полупро- странства при нагружении его осесимметричной нагрузкой. Рассмотрим слоистое упругое тело (рис. 1), состоящее из покрытия толщиной δ с упругими харак- теристиками 1 ν и 1 E и основного материала с упругими характеристиками 0 ν и 0 E и нагружено осесимметрич- ной нагрузкой (1). Рис. 1. Схема нагружения слоистого полупространства С использованием жесткостной модели слоистого тела для приведенного модуля упругости и коэффициента Пу- ассона в работах [12; 13] получено: 1 * 1 * 01 FE E ⋅ = ; (7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 01 0 1 01 01 2 1 1 1 1 0 0 0 − δ         ⋅ δ δ δ + δ − δ − = e I K K K K K K K K F , (8) ( ) e I F − − ν−ν+ν= ν − 1 1 1 1 1 0 1 01 , (9)