Systems. Methods. Technologies 3 (39) 2018

Systems Methods Technologies. V.A. Koronatov. A general approach … 2018 № 3 (39) p. 24-32 28 Полученные результаты. Созданная теория дает общий подход в нахождении аналитических зависимо- стей для силовых компонент от кинематических скоро- стей в задачах контактного взаимодействия (для тел с комбинированной кинематикой движения) и качест- венное обоснование для них. Приведенные ниже фор- мулы для силовых компонент показывают, от каких кинематических скоростей эти компоненты зависят прямо пропорционально, а от каких — обратно. Приве- дено качественное обоснование этого. 1. В задачах качения [28–30] . ; fN F F , bR FF = = ∆+β +γκε+υ ∆+υ = ≡γ≡β 0 0 0     (1) ;N MM, a R R MM ρ= = ∆+υ+γκε+β ∆+β = ≡υ≡γ 0 0 0     (2) .N~ M M , Rbˆ aˆ MM z z z z ρ= = ∆+β +υ+γε ∆+γε = ≡β≡υ 0 0 0     (3) Здесь − z M,M,F соответственно сила трения скольжения, моменты трения качения и верчения; точ- ка здесь и далее означает дифференцирование по вре- мени t ; − N,R соответственно радиус колеса и сила давления; −γβυ  , , кинематические скорости: скольже- ния, качения, верчения (рис. 1 и 2); − ∆κ bˆ,aˆ, , ,b,a ко- эффициенты аппроксимации, которые определяются экспериментально; −ε средний радиус пятна контакта; −ρρ ~, ,f коэффициенты трения, соответственно, скольжения, качения и верчения, определяемые со- гласно закону Амонтона – Кулона, справедливость ко- торого предполагается для скольжения, верчения и ка- чения, когда они присутствуют порознь: [ ] [ ] ; если , при , ~,~ при , sign ~ ~ ; если , при , f,f при , sign f f 0 0 ;0 0 0 ;0 1 1 0 1 1 0 ≡β≡υ ≡γ ρρ− ≠γ γ ρ=ρ ≡β≡γ ≡υ − ≠υ υ =       [ ] ;0 ,0 , , -;0 , 1 1 0 ≡γ≡υ ≡β ρρ ≠β β ρ=ρ     если при при sign (4) Предполагается: ; / ˆ ; f/ f 1 1 0 1 0 1 >ρ ρ=µ > =µ ; ~/ ~ ~ 1 0 1 >ρ ρ=µ , т. е. считается, что трение скольжения – качения – верчения покоя не равно трению скольже- ния – качения – верчения движения. Закон Амонтона – Кулона для качения (4) в дальнейшем будет уточнен. Заметим, что ранее в формулах (1 ), ( 2) вместо выраже- ния β  R использовалось выражение βε  , что не прин- ципиально, но, по мнению автора, было менее пра- вильным; кинематические скорости берутся по моду- лю, если эти скорости могут менять свой знак.  x y z      Рис. 1. Колесо при качении с проскальзыванием и верчением F x y   x  y  Рис. 2. Пятно контакта колеса 1. Формула (1) определяет, какая часть от 0 F — си- лы трения при чистом скольжении — приходится в данный момент времени на силу трения скольжения. Здесь следует иметь в виду, что увеличение υ , со- гласно гипотезе 4, приводит к росту площади зоны скольжения, а значит, и росту силы давления, прихо- дящейся на данную зону, и тем самым, согласно закону Амонтона – Кулона, к росту силы трения скольжения. Рост угловых скоростей качения и верчения по моду- лю, опять же согласно гипотезе 4, ведет к росту зон сцепления и верчения, что может происходить только за счет уменьшения зоны скольжения, а значит — к уменьшению силы трения скольжения. Максимальное по модулю значение силы трения скольжения достига- ется, когда пятно контакта полностью занято зоной скольжения, т. е. при 0 ≡γ≡β   . 2. Формула (2) определяет, какая часть от 0 M — момента трения при чистом качении — приходится в данный момент времени на момент трения качения. Здесь следует иметь в виду, что увеличение β  , соглас- но гипотезе 4, приводит к росту площади зоны сцепле- ния, а значит, и росту силы давления, приходящейся на