Systems. Methods. Technologies 3 (39) 2018

Системы Методы Технологии. А.С. Кривоногова и др. Теоретическое обоснование … 2018 № 3 (39) с. 130-135 133 Теперь за счет коэффициента фильтрации в свобод- ный момент времени t показатель объемной пропитки стержня АВ поднимется на отметку определенной точ- ки х = а . Область х ∈ (0, а) пропитывается раствором, давление которого подчиняется дифференциальному уравнению коэффициента фильтрации, которое не со- держит [4; 11; 21; 22] производных по времени из-за несжимаемости (6): ( ) ( ) ( ) s h aha s ha q a x q H x H ≤≤ −− ⋅ − ⋅ ρωα−= ∈ = α− ∂ ∂ , 2 2 1 ,0 , 2 2 2 2 2 ( (6) Требуется проанализировать приграничное условие на самой верхней границе процесса пропитки х = а . Тогда, вследствие капиллярно-пористой структуры строения древесного сырья, будут действовать силы поверхностно- го натяжения, действующие с давлением Р а . Давление будет показывать разные величину и знаки, зависящие от не смачивания или смачивания экспериментальной пары «древесный материал − жидкость» и от силы взаимосвязи молекул этой пары [4; 11; 21; 22]. Анализируя приграничное условие по формуле, можно найти скорость фильтрации υ (a,t) и дифферен- цировать уравнение баланса пропиточного раствора, вытекающего за некоторое время dt в область элемента da (7) [4; 11; 20; 21; 22]: ( ) dt ta da , υ= . ( (7) Определяем скорость движения уровня границы пропиточной жидкости по условию а (0) = 0 или а (0) = а * , где а * — глубина уровня пропитки в момент вре- мени t = 0, возникающая за период времени разгона центрифуги до скорости ω . Можно найти уровень глу- бины пропиточной жидкости a(t), время t 1 , необходи- мое для пропитки на глубину а 1 , и еще некоторые фи- зические параметры всего данного процесса пропитки [4; 11; 15; 20–22]. Тогда решение дифференциального уравнения бу- дет представлено в виде (8): ( ) ( ) h a s h a H H Be Ae H x x −− ⋅ − ρω = + + = α− α 2 2 1 2 * * ( (8) Чтобы выполнить нахождение произвольных посто- янных A и B, применим приграничные условия, из ко- торых, с учетом (8), следует (9) [4; 9–11; 21; 22]: ( ) ( ) ( ) ( ) a P taH ha s ha t H = −− ⋅ − ρω = , 2 2 1 ,0 2 ( (9) Подставив (9) в (8), получим выражение (10): ( ) ( ) ( ) ( ) a sh P a sh e ah s ah B P e ah s ah a sh A a a a a α −         α − − ⋅ −− ⋅ − ⋅ ρω=       +      − ⋅ −− ⋅ − ⋅ ρω α = α− α− 2 2 2/1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 ( (10) Подставив (10) в (9), получим выражение (11): ( ) ( ) x sh x shaP x e x sh a sh a e ah s ah H α α +         − α +α ⋅ α α−− ⋅ ⋅ −− ⋅ − ⋅ ρω= 2 2 1 1 2 2/1 2 2 ( (11) Из закона Дарси следует выражение (12): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ah s ah e a cth ah s ah e P aR aRK ta a a a −− ⋅ − ρω −α × × −− ⋅ − ρω⋅      − + = α−= υ α− α− 2 2 2 1 , , 2 2 ( (12) Выделяя переменные, проинтегрировав с учетом начальных условий а (0) = 0, выведем (13): ( ) ( ) ∫ ∫ ϕ ϕ α −= α−= ϕ ϕ a a R d K t tK R d 0 0 1 , (13) Данное интегрирование в общем случае при эле- ментарных функциях не производится, но при некото- рых параметрах α , k , ω ,  , Р а , s , h и а можно вычислить и протабулировать средствами помощи ЭВМ. При эле- ментарных произведениях  а можно рассчитать в эле- ментарных функциях методом сведения функции cth( αϕ ) в ряды Тейлора по степеням αϕ и удержания числа конечных членов [4; 11; 21; 22]. Данные вычис- ления справедливы, если выполнять испытания на об- разцах, длина которых мала а<<s , αϕ <<1 для нахож- дения описанных выше параметров, что и было выпол- нено при опытно-экспериментальных исследованиях [2; 4; 11; 13; 15; 20–22]. Выделим некоторые принципиальные частные слу- чаи решения данной задачи. При условии слабой боко- вой пропитки, что соответствует реальной практике, появляется возможность пренебречь коэффициентом α [4; 11; 20–22]. Получим упрощение уравнение (11), и оно принимает вид (14): ( )( ) ( )( ) ah s ah B ah s ah P aA B Ax H dx Hd a −− − ρω =     −− − ρω − = + = = − 2 2 1 , 2 2 1 ,0 2 2 1 2 2 (14) Его решение с учетом ранних приграничных усло- вий получает вид (15): ( ) ( )( ) a xP a x a h s a h txH a +      − −− − ρω = 1 2 2 1 , 2 (15)