Systems. Methods. Technologies 3 (39) 2018

Системы Методы Технологии. С.Н. Вихарев и др. Исследование размола … 2018 № 3 (39) с. 108-115 111 щественный, непрерывный, самосопряженный и поло- жительно определенный оператор. Решение задачи. Чтобы получить перемещения )( x u y ∞ , решаем уравнение:     ∂ ∂ − Α= ∂ ∂ − ∞ σ ∞ ∞ ε ∞ x x pVT x p x x u VT x u y y )( )( )( )( . (10) Примем обозначение: [ ] ∫ ξξ −ξ = Α= ϕ ∞ ∞ l d px K xp x 0 )( ) ( )( )( . (11) Ограничимся случаем, когда ядро K( – x) операто- ра )] ( [ x pA ∞ является периодической функцией с пе- риодом l . В этом случае можно записать: x x p ∂ ϕ∂=      ξ∂ ξ∂Α )( )( . (12) Решение уравнения (10) имеет вид: ∫ χ     ∂ χ+ϕ∂ −χ+ϕ         − = ε ε ε χ− σ ε ∞ l VT VT l VT l y d e x x VT x eVT e x u 0 ) ( ) ( 1 )( . (13) Примем во внимание значение интеграла: ∫ ∫ χ χ+ϕ +ϕ         − =χ χ∂ χ+ϕ∂ ε ε ε χ− ε − χ− l VT VT l VT l d e x VT x e d e x 0 0 ) ( 1 )(1 ) ( .(14) Подставляем (14) в (13) и после преобразований по- лучим: ∫ χ χ+ϕ      −         − + ϕ = ε ε ε χ− ε σ ε ε σ ∞ l VT VT l VT l y d e x T T eVT e x T T x u 0 ) ( 1 1 )( )( .(15) Выражение (15) можно упростить, проинтегрировав по частям интеграл и воспользовавшись свойством пе- риодичности )( ) ( x l x ϕ=+ϕ , получим уравнение (16): ∫ ∫ χ χ∂ χ+ ϕ∂       −         − + ϕ= =         χ χ∂ χ+ ϕ∂ − ϕ− + ϕ× ×      −         − − ϕ ε = ε ε ε ε ε ε ε χ − ε σ χ − − ε σ σ ∞ l VT VT l VT l l VT VT l VT l VT l y d x e T T e e x d x e x el x T T e e x T T x u 0 0 . ) ( 1 1 )( ) ( )( ) ( 1 1 )( )( (16) Воспользуемся (13) и окончательно получим пере- мещения на поверхности волокнистого материала при ∞→ t , уравнение (17): ∫∫ χξ ε χ− ξ∂ ξ∞∂ χ−−ξΚ× ×        ε σ−             −ε ε + ϕ=∞ l dd VT e p x T T VT l e VT l e x xyu 0 . )( )) ( ( 1 1 )( )( (17) Проанализируем выражение (17). Решение вязкоуп- ругой задачи содержит решение упругой )( x ϕ в явном виде. При предельном переходе к упругому случаю значение мгновенного модуля упругости стремится к значению модуля Юнга, т. е. отношение σ ε T T стремится к единице, и последнее слагаемое в уравнении (17) об- ращается в ноль. При исследовании контакта ножей гарнитуры рото- ра и статора коэффициент износа )( x ω Κ принадлежит к классу кусочно-постоянных функций: [ ] [ ]     + ∈ωΚ + ∉ ωΚ= Κ ω nl anl x nl anl x x , ,1 , ,2 )( , (18) где 1 ω Κ и 2 ω Κ — коэффициенты износа ножей и меж- ножевых канавок гарнитуры ])1 (, [ l na nl + + , ) ( 2 1 ω ω Κ Κ  . Распределение контактного давления при ∞→ t получим, подставляя уравнения (8) и (18) в за- кон износа (3): [ ] [ ]          + ∈ α         ωΚ ∞ = + ∉ α         ωΚ ∞ = = ∞ nl anl x D p p nl anl x D p p x p , , 1 1 ~ 1 , , 1 2 ~ 2 )( . (19) С учетом этого выражения преобразуем последний интеграл по аргументу в (17): ( ) ( ) [ ] χ)] + -χ)+ Κ( [ ε χ- Δ= = )} 1 - 2 (χ)-l( +) 1 - 2 χ)( +(- {ε χ- =ξ ε χ- eχ)) +(- ( ∂ ξ ) (∞∂ p ∫ l 0 Κ(-(x a-(x VT pe p p Κ p p x Κ(a VT e dVT x K       =   (20) где ∆ p = p 2 – p 1. Ядро оператора ) ( x −ξΚ в случае плоской перио- дичной контактной задачи [26]: