Systems. Methods. Technologies 3 (39) 2018

Systems Methods Technologies. S.N. Vikharev et al. Study of fibrous …2018 № 3 (39) p. 108-115 110 в d P T   / =µ . Скорость линейного изнашивания контактирующих тел t tx ∂ ∂ ω ),( связана с давлением p(x,t) соотношением [28]:         = ∂ ∂ p txp xK t txω ~ ),( )( ),( , (3) где − Κ ω )( x коэффициент износа поверхности, −α Κ= + Κ ω ω ), ( ) ( x l x экспериментальный параметр; p̃ — некоторое характерное давление; − ω ),( tx износные перемещения границы тела. Полагаем, что параметр α является постоянной ве- личиной. Это допущение позволяет упростить даль- нейшие выкладки и облегчить анализ результатов, не искажая исследования качественно. Если поверхность жесткого полупространства в на- чальный момент времени совпадает с координатной плоскостью (x, z), то условие контакта имеет вид: ), ( ),( ),( tD tx tx u y = ω+ (4) где − ),( txu y перемещения точек поверхности волок- нистой прослойки; D(t) — сближение ротора и статора в результате действия нагрузки. Полная нагрузка на период l (рис. 1) при y = 0 оп- ределяется выражением: ∫ = l dx txp tP 0 . ),( )( (5) Рассматриваемая задача является плоской периоди- ческой с периодом l . Начальное давление между рото- ром и статором распределено равномерно, т. е. р ( х ,0) = Р (0)/ l ) , ( +∞ −∞∈ x . В процессе изнашива- ния гарнитуры происходит формоизменение первона- чально плоской рабочей поверхности ножей и перерас- пределение контактного давления p(x, t). Пусть функ- ция f(x, t) описывает линию пересечения жесткого не- однородного полупространства с плоскостью (x, y). Причем в начальный момент времени f ( x , 0) = 0. Необ- ходимо определить асимптотику функции f(x, t) при ∞→ t . Влиянием сил трения на распределение кон- тактных давлений пренебрегаем. Модель волокнистой прослойки. Модель волок- нистой прослойки при размоле в ножевых размалы- вающих машинах рассмотрена в статьях [29; 30 и др.]. Для описания свойств волокнистой прослойки вос- пользуемся двумерным аналогом модели Максвелла – Кельвина. Соотношение в случае плоской деформации имеет вид [22]:       ∂ σ∂ +σ Ε + −      ∂ σ∂ +σ Ε −= ∂ ε∂ +ε σ ′ ′ ′ σ ′ ′ ε ′ T t v v t T v t T y y x x x x ) 1( 1 2       ∂ σ∂ +σ Ε + −      ∂ σ∂ +σ Ε −= ∂ ε∂ +ε σ ′ ′ ′ σ ′ ′ ε ′ T t v v t T v t T x x y y y y ) 1( 1 2 (6)       ∂ τ∂ + τ Ε += ∂ γ∂ + γ ′′ σ ′′ ′′ ε ′′ t T v t T yx yx yx yx 1 , где E — модуль Юнга; v — коэффициент Пуассона; σ ε Ε T T — мгновенный модуль упругости; ε T 1 — коэффи- циент скорости последействия, σ ε T T  . Компоненты тензоров деформаций и напряжений в движущейся ( 0, x, y, z ) и неподвижной ( 0, x', y' z ') системах координат связанны между собой уравнениями [28]: , * ij ij ij ij ij x VT t T ε= ∂ ε∂ −ε= ∂ ε′∂ +ε′ ε ε , * ij ij ij ij ij x VT t T σ= ∂ σ∂ −σ= ∂ σ′∂ +σ′ σ σ * i i j u x uVT u = ∂ ∂ − ε , )( )( )( * xp x xp VT xp = ∂ ∂ − δ . Функции * ij ε , * ij σ удовлетворяют эквивалентным уравнениям равновесия, закону Гука для изотропного упругого тела, а * ij ε — уравнениям совместности де- формаций или тождествам Сен-Венана. Определим связь между перемещениями точек по- верхности )( * x u y и контактным давлением )( * xp с помощью оператора А )] ( [ * xp : )] ( [ )( * * xp xu y Α= . (7) Метод решения. Система уравнений (3)–(5), (7) яв- ляется замкнутой и позволяет определить контактное давление и форму изношенной поверхности ножей гарнитуры. Найти решение этой системы в произволь- ный момент времени возможно только при использо- вании численных методов. Однако если скорость изно- са t tx ∂ ω∂ ),( постоянна, то распределение давлений p(x, t) согласно (3) не зависит от времени: , ),( ∞ = ∂ ω∂ D t tx (8) ). ,( lim )( txp t p t ∞→ ∞ = (9) Условия (8) и (9) на практике соответствуют усло- виям установившегося изнашивания. В этом режиме скорость V, область контакта Ω и сближение D не зави- сят от времени. При ∞→ t контактное давление )( x p ∞ и вязкоупругие перемещения )( x u y ∞ являются периодическими функциями координаты x в силу ог- раничений, наложенных на функцию )( x ω Κ . Кроме того, когда оператор A [ p ( x )] не зависит от времени, существует стационарное решение системы (3)–(5), (7). В работе [23] показано, что стационарное решение асимптотически устойчивое, если A [ p ( x )] ве-