Systems. Methods. Technologies 3 (39) 2018

Systems Methods Technologies. P.M. Ogar et al. The use of a simplified … 2018 № 3 (39) p. 7-13 10 ( ) δ         π == = ∗ 0 1 2 1 1 3 1 0 3 4 5.1 K RPE P w w A A ; (17) ( ) δ         π == = ∗ 0 1 2 1 0 0 0 3 1 3 4 5.1 K RPE P w s a . (18) Значение P 1 определяем из условия равенства пере- мещений при z = δ, слоистого упругого тела под на- грузкой P и однородного материала под нагрузкой P 1 : ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] δ −         π = =δ −         π ∗ ∗ 1 1 2 1 2 1 01 01 2 1 2 0 3 4 5.1 0 3 4 5.1 3 1 3 1 K K RE P K K RE P ; (19) ( ) ( ) ( ) ( ) P K K K K E E P 2 3 1 1 01 01 01 1 1 0 0       δ − δ − = ∗ ∗ . (20) Значение P 0 определим из условия равенства пере- мещений при z = δ, слоистого упругого тела под на- грузкой P и однородного материала под нагрузкой P 0 . В результате получим: ( ) ( ) P K K E E P 2 3 0 01 01 0 0       δ δ = ∗ ∗ . (21) Из равенства перемещений δ = w w 1 и A A w w = 0 следует: 0 1 0 0 0 1 1 1 s s s P s s s PP + + + = , (22) Подставляя выражения (16), (18), (20), (21) в (22), имеем: R FE E 1 * 1 * 01 ⋅ = , (23) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e R I K K K K K K K F 2 1 01 2 3 0 2 1 01 01 2 3 1 1 01 1 0 0 0 δ δ + δ − δ − = . (24) В случае приближения значений ( ) δ 01 K к ( ) δ i K по- лучим выражение (13). Максимальные расхождения значений зависимо- стей )( 1 δ n F и )( 1 δ Rn F в диапазоне δ =0…10 при 1.0 = e I не превышают 5 %, а средние расхождения не превышают 1 %. Предполагая применимость теории Герца для слои- стого упругого тела с приведенным модулем упругости R FE E 1 * 1 * 01 ⋅ = , определим относительные контактные характеристики при внедрении сферы — радиус пло- щадки контакта Ra a = , величину внедрения Rw w 0 0 = , максимальное давление на площадке кон- такта ∗ = 1 0 0 Ep p — в зависимости от безразмерной нагрузки ( ) 2 1 REPP ∗ = . При упругом контакте относительный радиус кон- такта a определяется из следующего выражения [18]: ( ) R Fa a a a RE P P 1 2 2 1 1 1 ln 15,0     − − + + = = ∗ . (25) Относительная величина внедрения 0 w описывает- ся выражением: a a a Rw w − + ⋅ ⋅ = = 1 1 ln 2 1 0 0 . (26) Так как ( ) 2 0 2 3 a P p π = , с учетом (14) имеем: ( ) 3 1 2 1 1 0 0 61 R FP E p p π = = ∗ (27) Для 0,4 ≤ Ra при определении параметров контакта удобно использовать выражения для параболоида враще- ния [9]: 3 2 3 4 a RE P P = = ∗ , 2 0 0 aRw w = = . (28) Обсуждение полученных результатов. Точное решение пространственной осесимметричной задачи для описания напряженно-деформированного состоя- ния в упругом слое при внедрении в него сферического индентора приведено в работе [2, с. 56–62], в которой использован метод интегрального преобразования Фу- рье – Бесселя. Результаты расчетов параметров контак- та шарового индентора радиусом R = 2.5∙10 –3 м с поли- мерным слоем толщиной δ = 10 –4 м, жестко скреплен- ным с основанием, приведены там же на с. 68, 69 (табл. 2.1). Модули упругости и коэффициенты Пуассона ма- териалов покрытия и основания соответственно равны: E 0 = 201 ГПа, 0 ν = 0,3; E 1 = 2,39 ГПа, 1 ν = 0,38. Ниже в таблице приведены некоторые данные точного реше- ния из [2] для сравнения с результатами, полученными по предлагаемой инженерной методике. Для заданных значений a (столбец 1) в [2] опреде- лены усилие внедрения P , максимальное давление на площадке контакта p 0 и величина внедрения w 0 (соот- ветственно столбцы 2–4). Для обобщения результатов проведем сравнение безразмерных величин. Для без- размерной нагрузки P определены относительное внедрение 0 w согласно [2] и по предлагаемой инже- нерной методике s w 0 (соответственно столбцы 6 и 7). Максимальная погрешность по абсолютной величине не превысила 10 %, а средняя погрешность для приве- денных значений относительного внедрения составила 4,7 %, что свидетельствует о приемлемости предлагае- мой методики для инженерных расчетов параметров контакта шарового индентора со слоистым упругим телом. Соответствующие графические зависимости относи- тельного внедрения от безразмерной нагрузки, рассчи- танные по разным методикам, представлены на рис. 4.