Systems. Methods. Technologies 2 (38) 2018

Системы Методы Технологии. Ю.Н. Алпатов и др. Методика понижения … 2018 № 2 (38) с. 96-99 99 тельно переставляем столбцы в правую часть матрицы, переставляя при этом соответствующие строки в матрице Х: первый отобранный столбец — на последнее место, второй отобранный столбец — на предпоследнее и т. д. В каждом переставляемом столбце строку, содержащую –1, переставляем так, чтобы –1 располагались по диагонали, начиная с верхнего правого угла матрицы Н. Произведя перестановку строк и столбцов матрицы Н (и, соответственно, строк матрицы Х), выделяем блочную подматрицу H 2 с элементами {0, –1}. Столбцам матрицы H 2 , сформированной данный способом, соответствуют сигналы матрицы X, исходя- щие из узлов 2-го рода. Поскольку узел 2-го рода имеет единичный коэффициент передачи, то каждый его ис- ходящий сигнал равен входящему сигналу. Таким об- разом, возможно исключение из матрицы Х сигналов, соответствующих столбцам матрицы H 2 , и соответст- вующих столбцов из матрицы H. При этом не будет нарушена зависимость между параметрами системы. Размер матрицы H 2 (s×s) определяется уравнением: = ∑ , где r 2 — число узлов ветвления; S i — число выходящих дуг узла i. Определитель данной матрицы H 2 : = (−1) ≠ 0 (8) что удовлетворяет условия решения (6). Для матрицы S вида (зеркально-единичная): ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 0 0 ⋯ 0 1 1 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 1 1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ (9) Справедливо тождество: = (10) Если вынести из матрицы -1 за знак матрицы, то она примет вид, идентичный матрице S, и будет спра- ведливо тождество: −1( ) = −1( ) (11) Следовательно, выполняется условие решения уравнения (8) и отпадает необходимость вычисления обратной матрицы H 2 -1 (11). Можно вынести –1 из матрицы H 2 , тогда уравнение примет вид: [ + ∗ ∗ ][ ] = 0 (12) Одним из важнейших свойств матрицы вида S явля- ется то, что при умножении на неё матрицы M проис- ходит инвертирование столбцов матрицы M , при этом элементы остаются неизменёнными: ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ → ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ Назовём такую матрицу M инв . Применимо к (12) получим: [ + инв ∗ ][ ] = 0 (13) Выводы Полученные преобразования позволяют уйти от опе- раций обращения матрицы и умножения матриц, что при расчетах дает выигрыш во времени, пропорциональный размерности исходной матрицы H. Литература 1. Алпатов Ю.Н. Синтез систем управления методом структурных графов: моногр. Иркутск: ИГУ, 1988. 184с. 2.Pearson K. On lines and planes of closest fit to systems of points in space, Philosophical Magazine, 1901. № 2. Р. 559-572. 3. Цвиркун А.Д. Структура сложных систем. М.: Сов. ра- дио, 2004. 4. Мухин В.И. Исследование систем управления. М., 2005. 5. Растригин Л.А. Современные принципы управления сложными системами. М.: Наука, 2007. 6. Авербах И.Л., Цурков В.И. Оптимизация в больших за- дачах с целочисленными переменными. М.: Наука: Физмат- лит, 1995. 288 с. 7. Левин Г.М., Танаев В.С. Декомпозиционные методы оптимизации проектных решений. Минск: Наука и техника, 1978. 240 с. 8. Щербина О.А. Локальные алгоритмы для блочноҫдре- вовидных задач дискретного программирования // Журн. вы- числ. математики и матем. физики. 1985. Т. 25, № 8. С. 25-28. 9. Werner R., Schetelig D., Sothmann T. Low Rank and Sparse Matrix Decomposition as Stroke Segmentation Prior. A Random Forest-Based Evaluation Study // Bildverarbeitungf¨ur die Medizin. 2017. P. 45-49. 10. Жигульская В.Ю. Численные методы. Луганск: Альмаҫматер, 2005. 137 с. 11. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших раз- режённых систем уравнений. М.: Мир, 1984. 333 с. 12. Лемтюжникова Д.В. Декомпозиция разреженных мат- риц в задачах целочисленного программирования // Матема- тические методы распознавания образов: материалы 19-ой Всерос. конф. М., 2017. C. 113-117. References 1. AlpatovYu.N. Synthesis of control systems by the method of structural graphs.:monogr. Irkutsk: IGU, 1988. 184 p. 2. Pearson K. On lines and planes of closest fit to systems of points in space, Philosophical Magazine, 1901. № 2. P. 559-572. 3. Cvirkun A.D.The structure of complex systems. M.: Sov. radio, 2004. 4. Muhin V.I. Study of control systems. M., 2005. 5. Rastrigin L.A.Modern principles of management of com- plex systems. M.: Nauka, 2007. 6. Averbah I.L., Curkov V.I. Optimization in large problems with integer variables. M.: Nauka: Fizmatlit, 1995. 288p. 7. Levin G.M., Tanaev V.S. Decomposition methods of optimiza- tion of design solutions. Minsk: Naukaitekhnika, 1978. 240 p. 8. Sherbina O.A.Faddeev algorithm for local blocking discrete programming// Zhurn. vychisl. matematikiimatem. fiziki. 1985. T. 25, № 8. P. 25-28. 9. Werner R., Schetelig D., Sothmann T. Low Rank and Sparse Matrix Decomposition as Stroke Segmentation Prior. A Random Forest-Based Evaluation Study // Bildverarbeitungf¨ur die Medizin. 2017. P. 45-49. 10. Zhigul'skayaV.Yu.Numerical methods. Lugansk: Al'maҫmater, 2005. 137p. 11. Dzhordzh A., LyuDzh. Numerical solution of large sparse systems of equations. M.: Mir, 1984. 333p. 12. Lemtyuzhnikova D.V. Decomposition of sparse matrices in integ- er programming problems // Matematicheskiemetodyraspoznava- niyaobrazov: materialy 19-oj Vseros. konf. M., 2017. P. 113-117.