Systems. Methods. Technologies 2 (38) 2018

Systems Methods Technologies. Yu.N. Alpatov et al. The technique of lowering … 2018 № 2 (38) p. 96-99 98 Рис. 4. Структурный граф преобразованной системы Строим матрицу компонентов (2) и матрицу струк- туры (3): ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ∗ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ (2) ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0−1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0−1 1 0 0 0 0 0−10 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0−1 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ∗ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = 0 (3) В результате перемножения матриц (2) и (3) полу- чим уравнение системы: ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0−1 0 0 0−1 0−1 0 0 0 0 0−1 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ∗ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = 0 (4) Полученная матрица имеет высокую степень разре- женности, и целесообразно будет понизить ее порядок. В строках исходной матрицы H, соответствующих уз- лам ветвления, происходит тождественное преобразо- вание x i = x j , ведущее к увеличению размерности мат- рицы H и вектора X вх , включающего идентичные сиг- налы. Желательно исключить подобные преобразова- ния, не нарушая целостности модели. Уравнение (4) позволяет выполнить часть исследо- ваний аналитически, не приступая к исследованиям на объекте. Для этого представим исходную матрицу в виде блочных подматриц: ∗ = 0 В виде системы уравнений: ∗ + ∗ = 0; ∗ + ∗ = 0. Исключив X 2 , получим: [ − ∗ ∗ ][ ] = 0 (5) [ ′ ][ ] = 0 , где - матрица, обратная Условием решения будет: det ≠ 0 (6) Воспользовавшись инвариативностью матрицы H, можно переставить столбцы и строки уравнения: ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 0 0 0 0 0−1 0 0 0 0−1 0 0−1 −1 1 0 0 0−1 0 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ∗ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = 0 (7) где: = 0 0 ; = −1 0 1 −1 ; = 0 0 −1 −1 0 0 −1 = 0 0 ; = ; = Дальнейшие расчеты позволяют понижать размер- ность разреженной матрицы (5) путем выделения сколько угодно большого числа блочных подматриц, но, вместе с тем, расчеты будут сильно усложняться, а количество ограничивающих условий будет расти прямо пропорцио- нально количеству блоков, на которые разбивается ис- ходная матрица. Операция нахождения обратной матри- цы по формулам Крамера очень сложна. Для упрощения вычисления обратной подматрицы H 2 с учетом выполнения условия det H 2 ≠0 переставим строки и столбцы таким образом, чтобы H 2 состояла из –1, расположенных по диагонали, начиная с правого верхнего угла исходной матрицы H (6): = 0 −1 −1 0 Перестановку будем выполнять следующим образом. В исходном уравнении выделяются строки, состоящие из 1 и –1 (такие строки получаются при описании узлов 2- го рода тогда, когда входной для всего графа сигнал вхо- дит в описываемый узел). Далее определяем, какие столбцы в отобранных строках содержат –1. Последова- x 1 1 x 2 W 1 x 3 1 x 4 x 5 1 x 6 x 11 1 W 3 B W 0 x 7 x 8 A x 9 x 10