Systems. Methods. Technologies 2 (38) 2018

Системы Методы Технологии. С.В. Елисеев и др. Соотношения динамических … 2018 № 2 (38) с. 7-13 9 жения статического равновесия. Система координат связана с неподвижным базисом, силы сопротивления полагаются исчезающими малыми. 1. Математическая модель технического объекта по рис. 1 может быть представлена в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Используя методику, приведенную в [7], найдем выражения для кинетической и потенциальной энергий системы в координатах y 1 , y 2 : 2 1 2 2 2 ) ( 2 1 2 1 Т y yL ym       , (2)       2 2 3 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 П z y k y y k z yk       . (3) Проведем вспомогательные выкладки и запишем уравнения в координатах y 1 , y 2 во временной области: zk kyLy k kyLy 1 22 2 2 1 1 1 ) (        , (4) zk kyLy k ky Lmy 3 21 1 3 2 2 2 ) ( ) (         . (5) После преобразований Лапласа при нулевых начальных условиях система уравнений (4), (5) может быть представлена в операторной форме: zk k Lp y k k Lp y 1 2 2 2 2 1 2 1 ) ( )] ( [      , (6) zk k Lp y k k pLmy 3 2 2 1 3 2 2 2 ) ( ] ) [(       , (7) где p = j ω — комплексная переменная ( 1  j ) (значок  над переменной означает ее изображение по Лапласу [7]). Структурная математическая модель в виде структурной схемы эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления приведена на рис. 2. 2 1 2 1 k k Lp   1 y 2 y 1 k z 2 2 k Lp  3 2 2 ) ( 1 k k pLm    2 2 k Lp  3 k z Рис. 2. Структурная математическая модель (структурная схема) технического объекта по рис. 1 Структурная модель (рис. 2) отображает специфические свойства системы; структура системы сформирована из двух парциальных блоков, имеющих упруго-инерционные межпарциальные связи. При частоте внешнего возмущения: L k 2 2 ω  (8) взаимодействие между парциальными частотами может нарушаться. Для оценки особенностей динамических свойств систем при внешнем гармоническом возмущении (в данном случае это кинематическое возмущение z(t) ) определенное значение имеют парциальные частоты: L k k n 2 1 2 1   , (9) Lm k k n    3 2 2 2 , (10) которые в некотором смысле предопределяют возможности реализации в системе режимов динамического гашения колебаний. 2. Передаточные функции исходной системы по рис. 1 могут быть определены из структурной математической модели или структурной схемы на рис. 2: )( ) ( )] ) [( )( 2 2 3 3 2 2 1 1 1 pA k Lp k k k pLmk z y pW        , (11) )( ) ( ) ( )( 2 2 1 2 1 2 3 2 2 pA k Lp k k k Lp k z y pW       , (12) где: 2 2 2 3 2 2 2 1 2 ) ( )] ) )[( ( ) ( k Lp k k pLm k k Lp pA         (13) — является характеристическим частотным уравнением системы. Для оценки динамических реакций связей используется методологическая основа, представленная в работе [7], в соответствии с которой динамическая реакция в характерных точках исходной системы, т. е. в точках соединения или контактного взаимодействия ее элементов, может быть найдена как произведение динамической жесткости на величину динамического смещения по рассматриваемой координате. В общем случае динамическая жесткость зависит от частоты колебаний системы (в данном случае от частоты внешнего гармонического кинематического воздействия). В приложении таких подходов к конкретным схемам обычно выделяют динамическую жесткость фрагментов системы и динамические жесткости отдельных элементов или типовых элементарных звеньев. В работах [1, 5, 7] приводятся данные о составе набора типовых элементарных звеньев с рассмотрением упругих, диссипативных, инерционных свойств элементов и УПД. В операторной форме (рис. 2) передаточные функции элементарных звеньев, входящих в структурную математическую модель, имеют соответственно вид: W упр (р) = k — для обычной линейной системы ( k — жесткость пружины); W дисс (р) = bp — для диссипативного звена (демпфер вязкого трения); W инер (р) = mp 2 (или Lp 2 ) — для инерционного звена или устройства для преобразования движения. В рамках структурного математического моделирования каждое из типовых элементарных звеньев, по существу, рассматривается как звено, в котором входным сигналом являются динамические смещения, а выходным — усилие (силовой фактор). В выражениях для передаточных функций системы (11), (12) динамическая жесткость будет определяться путем конверсии этих выражений, что предопределяет представление о характеристическом уравнении (13), т. е. знаменателе передаточных функций (11), (12) как динамической жесткости системы в целом. Если динамическая жесткость системы в целом равна нулю, то это означает, что при действии гармонического внешнего воздействия будет развиваться резонансный