Systems. Methods. Technologies 2 (38) 2018

Systems Methods Technologies. M.M. Romadanova et al. Methods for processing … 2018 № 2 (38) p. 70-75 72 где i a 0 , i a 1 , i a 2 , i a 3 — коэффициенты весового кубиче- ского сплайна ( ) zS . Как видно из (3), производные и ин- тегралы от функции ( ) zf вычисляются аналитически. Так как функция ( ) k cz , ϕ зависит от k c линейно, то для определения этих параметров можно применить метод наименьших квадратов [20]. Тогда параметры 1 c и 2 c определяются из условия: ( ) i N i i i i y min 2 1 = −ϕω ∑ = , (4) где i ω — некоторые веса, значения которых выбира- ются убывающими с ростом z и равными нулю выше приземного слоя атмосферы, где разрушается лога- рифмическая зависимость. Условие (4) приводит к сис- теме уравнений: ( ) ( ) ( ) ( )        ω =ω + ω ω = ω + ω ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = N i i i N i i N i i i N i i i i N i i i N i i i y c z c z y z c z c 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 ln ln ln ln (5) Определив из этой системы уравнений параметры 1 c и 2 c , получим искомую функцию ( ) zf . Расчет значений производных. В качестве теста для проверки была выбрана функция, соответствующая линейно-логарифмическому профилю скорости ветра в пограничном слое атмосферы [16, 17]: ( )         β+      κ = z L z z u zu 0 * ln . (6) Значения параметров в формуле (6) были следую- щими: постоянная Кармана 4,0 =κ ; касательное на- пряжение м/с 3,0 * = u ; шероховатость подстилающей поверхности м 10 2 0 − = z ; L — масштаб Монина – Обухова [21]; 1 2 м 10 − − =β L . Результаты расчетов про- изводной этой функции и сравнение их с точными зна- чениями приведены в табл. 1, максимальная погреш- ность в определении производной не превышает 1 %. Таблица 1 Сравнение рассчитанных и точных значений производных z u w точн. dz du рас. dz du 2 3,9879 1,00 0,3825 0,3855 4 4,5230 1,00 0,1950 0,1942 8 5,0736 1,00 0,1012 0,1015 10 5,2558 0,50 0,0825 0,0824 20 5,8510 0,25 0,0450 0,0451 30 6,2291 0,00 0,0325 0,0325 50 6,7622 0,00 0,0225 0,0225 100 7,6579 0,00 0,0150 0,0150 150 8,3364 0,00 0,0125 0,0125 300 9,9824 0,00 0,0100 0,0100 500 11,8649 0,00 0,0090 0,0090 800 14,4666 0,00 0,0084 0,0084 1 000 16,1339 0,00 0,0082 0,0082 1 400 19,3870 0,00 0,0080 0,0080 Сравнение значений вертикальных производных, рассчитанных по сплайну и методом регуляризации, проводились по данным о скорости ветра u и v в пре- делах высот от 0 до 900 м. Как видно (табл. 2), в ниж- ней части приземного слоя ( 25 0 << z м) расхождения в значениях производных достаточно большие, в то время как выше приземного слоя ( 150 > z м) эти рас- хождения близки к 0. Поэтому, если требуется вычис- лить значения вертикальных производных вблизи зем- ной поверхности, целесообразно пользоваться методом регуляризации. Таблица 2 Значения производных, рассчитанных по сплайнам (       ∂ ∂ с z u и       ∂ ∂ с z v ) и методом регуляризации (       ∂ ∂ р z u и       ∂ ∂ р z v i z i ω i u с z u i ∂ ∂ р z u i ∂ ∂ i v с z v i ∂ ∂ р z v i ∂ ∂ 0,25 2,0 3,28 4,56 2,39 1,96 1,69 1,43 0,50 2,0 3,68 1,35 1,14 2,21 0,66 0,77 1,00 1,0 4,10 0,89 0,63 2,52 0,50 0,38 2,00 1,0 4,50 0,19 0,285 2,76 0,17 0,12 10,00 0,5 5,72 0,06 0,075 3,38 0,018 0,017 25,00 0,25 6,72 0,056 0,051 3,50 0,0047 0,0048 50,00 0 7,36 0,013 0,014 3,57 0,0013 0,0016 75,00 0 7,82 0,026 0,025 3,60 0,002 0,002 100,00 0 8,52 0,023 0,023 3,65 0,004 0,004 125,00 0 8,95 0,016 0,016 3,62 –0,0013 –0,0013 150,00 0 9,40 0,018 0,019 3,60 –0,0013 –0,0012 175,00 0 9,80 0,014 0,014 3,55 –0,0021 –0,0021 200,00 0 10,16 0,026 0,026 3,50 –0,0024 –0,0024 250,00 0 11,06 0,015 0,015 3,33 –0,0036 –0,0036 300,00 0 11,60 0,0087 0,0086 3,11 –0,0065 –0,0065