Systems. Methods. Technologies 2 (38) 2018

Системы Методы Технологии. М.М. Ромаданова и др. Методы обработки … 2018 № 2 (38) с. 70-75 71 данных экспедиций по изучению структуры погранично- го слоя атмосферы. Однако эти данные обычно имеются только на весьма ограниченном количестве уровней и в редкие сроки наблюдений [3]. Упомянутые выше задачи решаются в большинстве случаев методом математического моделирования, ко- торый требует более подробной информации о распре- делении метеоэлементов [4–9]. Поэтому возникает за- дача интерполирования имеющихся массивов экспери- ментальных данных на сетку с большим числом узлов. Для решения таких задач целесообразно использовать сплайны [10]. Как показано в работах [11, 12], метод сплайновой интерполяции с помощью кубического сплайна Акимы [13] обеспечивает для большинства метеорологических данных наиболее точную интерпо- ляцию. Этот вывод был получен авторами в результате анализа пяти часто используемых методов интерполя- ции — линейной, логарифмической, оптимальной, а также интерполяции с помощью стандартного кубиче- ского сплайна и сплайна Акимы. Интерполяция функций весовым кубическим сплайном. В данной статье рассматривается примене- ние для решения вышеупомянутых задач предложенно- го Б.И. Квасовым [14, 15] весового кубического сплай- на. Весовой кубический сплайн нужно использовать, когда требуется сохранить свойства монотонности и выпуклости интерполирующей функции. Алгоритмы построения весового кубического и бикубического сплайнов подробно изложены в [16]. Возможности их использования при анализе гидрометеорологической информации приведены в [17]. На основании результа- тов численных экспериментов авторы [17] делают вы- вод о том, что интерполяция весовыми кубическими сплайнами дает результаты, сходные с результатами интерполяции сплайнами Акимы [18, 19]. На рис. 1 приведены результаты интерполяции со- ставляющих скорости ветра u и v . Рис. 1. Вертикальные профили скорости ветра В качестве исходных данных были выбраны значе- ния u и v в пределах высот 0 – 3 000 м для многолет- него января в 18 ч по станции Нижний Новгород за 1964–2010 гг. [11]. Как видно на рис. 1, интерполяция весовым кубическим сплайном сохраняет монотон- ность и выпуклость интерполируемой функции. Методика расчета вертикальных производных. Для решения прикладных задач, кроме значений ме- теовеличин, необходимо знать их вертикальные произ- водные. Трудность непосредственного определения этих производных по интерполируемой функции со- стоит в том, что в приземном слое атмосферы скорость ветра, температура, влажность и другие метеовеличины изменяются по логарифмическому закону [16, 17]. По- этому, если аппроксимировать экспериментальные значения этих функций полиномами или сплайнами, то при вычислении производных от полиномиальной ап- проксимации при малых z получим заведомо большие погрешности. К таким же погрешностям при вычисле- нии производных приведет и использование конечно- разностных формул. Для повышения точности числен- ного дифференцирования экспериментальных зависи- мостей применим комбинированную регуляризацию [20], которая состоит в следующем. Допустим, что на интервале высот ( ) N z z , 0 задана экспериментальная зависимость ( ) zf , измеренные зна- чения которой на уровнях наблюдений i z обозначим через i y ( ( ) i i zf y = ). Если существует некоторый ин- тервал ( ) ( ) N z z z z , , 0 2 1 ∈ , на котором известен вид этой экспериментальной зависимости, то искомую функцию ( ) zf можно представить в виде: ( ) ( ) ( ) zS cz zf k + ϕ= , , (1) где ( ) k cz , ϕ — заданная функция аргументов z и k c ; k c — подлежащие определению параметры; ( ) zS — неизвестная пока функция. Функция ( ) k cz , ϕ не должна сильно портить экспе- риментальную зависимость вне интервала ( ) 2 1 , z z , а входящие в нее параметры выберем из условия близо- сти значений функции k ϕ экспериментальным значе- ниям i y на интервале [ ] 2 1 , zz . Составим затем разно- сти ( ) k i i i cz y y , ϕ− = ( N i z z z ≤ ≤ 0 ) и по этим значе- ниями i y построим сплайн ( ) zS . Очевидно, что на интервале [ ] 2 1 , zz сплайн мал и играет роль поправки. В качестве функции ( ) k cz , ϕ в нашем случае следует взять логарифмическую зависимость: ( ) ( ) 2 1 ln , c z c cz k + = ϕ . (2) Тогда окончательное выражение для функции ( ) zf будем считать следующим: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 0 2 1 ln z z a z z a z z a a c z c zf i i i i i i i − + − + + − + + + = , (3)