Systems. Methods. Technologies 2 (38) 2018

Systems Methods Technologies. A.M. Dzhambekov et al. Algorithms for optimal … 2018 № 2 (38) p. 54-62 58 Алгоритм оптимизации процесса каталитиче- ского риформинга. Рассмотрим зависимость функции J от двух переменных: расхода сырья u 1 и расхода топ- ливного газа u 2 . Необходимо преобразовать систему (7) к виду (8): ( ) ( ) ( )        + ⋅ =         ⋅ − ⋅ − + + ⋅ + = + = − − , ) , ( , 8,9 47,14 49 05,0) ( ) , ( ), , ( ) ( ) , ( ) , ( 2 1 2 1 2 1 3 / 5 * 2 1 1 2 1 2 0 2 2 1 1 0 1 2 1 bu a u uu f P Q МR R PR CGM uuf uu f Zk uuf ONk uuJ V rh  (8) где a , b — постоянные коэффициенты, определяющие стоимость и объем ресурсов на производство бензина, определяемые по формуле (9): . , fg c c a a k k m m w w e e CbCQCQ CQ CQ CQCQa = ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = (9) Применительно к настоящей работе опишем страте- гию поиска оптимума функции J ( u 1 , u 2 ) c использова- нием метода конфигураций (Хука – Дживса) и метода штрафных функций. Обозначим начальную точку ис- следующего поиска u 0 = ( u 0 1 , u 0 2 ). Поиск будет осуще- ствляться по координатным направлениям: в сторону увеличения (уменьшения) координаты u 1 ; в сторону увеличения (уменьшения) координаты u 2 . Для каждого из координатных направлений задается величина шага ∆, которая может быть переменной в процессе поиска. Зафиксировав первое координатное направление, дела- ем шаг в сторону увеличения соответствующей коор- динаты. Шаг считается удачным, если значение функ- ции J ( u 1 , u 2 ) в пробной точке u * меньше, чем в началь- ной точке u 0 . В противном случае нужно возвратиться в начальную точку u 0 и сделать шаг в противоположном координатном направлении с последующей проверкой поведения функции J ( u 1 , u 2 ). После перебора всех ко- ординатных направлений исследующий поиск завер- шается. При неудачном поиске величина шага умень- шается, и процедура продолжается, пока величина ша- га не станет меньше заданного значения ε [11]. Графическая интерпретация исследующего поиска экстремума функции J ( u 1 , u 2 ) приведена на рис. 3. Исследующий поиск осуществляется путем движе- ния по направлению от начальной точки u 0 к конечной u 3 . С помощью ускоряющего множителя λ задается величина ускоряющего шага. Путем исследующего поиска определяется наилучшая точка u 3 , в которой значение функции J ( u 1 , u 2 ) меньше, чем в точке преды- дущего базиса u 2 . На рис. 3 удачный поиск отображен сплошными линиями, неудачный — пунктирными, числами обозначены порождаемые алгоритмом точки. Представим пошаговое описание алгоритма опти- мизации процесса КР на основе метода Хука – Дживса. Шаг 1. Задаем начальную точку u 0 , порог уменьше- ния шага ε > 0, величина ускоряющего шага λ > 0, на- чальные значения шагов по координатным направле- ниям ∆ 1 , ∆ 2 ≥ ε, величина уменьшения шага α > 1. По- ложить v 1 = u 0 , i = 1, k = 0. Рис. 3. Исследующий поиск экстремума функции J Шаг 2. Выполнить исследующий поиск: а) если J ( v i + ∆ i ) < J ( v i ), т. е. J ( v i 1 , v i 2 + ∆ 2 ) < J ( v i 1 , v i 2 ), то шаг является удачным. Тогда нужно положить v i+1 = v i + ∆ i l i , где l i — стандартный базис; б) если в п. «а» сделан неудачный шаг, то делаем шаг в противоположном направлении. Если J ( v i – ∆ i ) < J ( v i ), т. е. J ( v i 1 , v i 2 – ∆ 2 ) < J ( v i 1 , v i 2 ), то шаг является удачным. Тогда нужно положить v i+1 = v i – ∆ i l i ; в) если в п. «а» и «б» сделаны неудачные шаги, нужно положить v i+1 = v i . Шаг 3. Выполнить проверку условий: а) если i < n , то нужно положить i = i + 1 и выпол- нить переход к шагу 2 для продолжения поиска по ос- тавшимся координатным направлениям; б) если i = n , то нужно выполнить проверку успеш- ности поиска: – если J ( v n+1 ) < J ( u k ), переход к шагу 4; – если J ( v n+1 ) ≤ J ( u k ), переход к шагу 5. Шаг 4. Нужно положить u k+1 = v n+1 , v 1 = u k+1 + λ( u k+1 – u k ), i = 1, k = k + 1 и выполнить переход к шагу 2. Шаг 5. Нужно выполнить проверку условия окон- чания: а) если для каждого координатного направления ∆ i ≤ ε, то необходимо завершить поиск: u * = u k ; б) для тех координатных направлений, при которых ∆ i > ε, необходимо уменьшение величины шага: ∆ i = ∆ i /α . Нужно положить v 1 = u k , u k+1 = u k , k = k + 1, i = 1 и выполнить переход к шагу 2. В табл. 1 представлены результаты работы алго- ритма оптимизации процесса КР при различных значе- ниях начальных направлений ∆ 1 , ∆ 2 . Таблица 1 Результаты работы алгоритма оптимизации № п/п ∆ 1 ,∆ 2 u * J ( u * ) N 1 1; 1 (158; 952) 0,962 22 2 1; 0,5 (159; 951) 0,961 20 3 0,5; 1 (160; 950) 0,960 18 4 0,5; 0,5 (161; 949) 0,961 16 Из табл. 1 видно, что изменение значений началь- ных направлений ∆ 1 , ∆ 2 в два раза практически не по- влияло на точность определения точки u * и значения