Systems. Methods. Technologies 2 (38) 2018

Системы Методы Технологии. И.О. Бельский и др. Математическое, численное … 2018 № 2 (38) с. 44-53 45 spectral composition of power resultant tangential component of the forces are constructed. As result of the researches the dependence between the magnitude of torque and distribution of the tangential forces at a particular moment of time is established. Experimental measurements of the strength of an external magnetic field are made. The experimental data coincide with the theoretical calculations obtained in numerical calculations and finite element simulation. Keywords: current asymmetry; asynchronous motor; tangential forces; torque; magnetic induction; finite element model. Введение Повышение надежности асинхронных машин как наиболее ответственного звена в комплексе производст- венного оборудования является актуальной задачей [1]. Асинхронные электродвигатели (АД) широко при- меняются в различных областях промышленности, где внезапный выход из строя может повлечь полную ос- тановку всего производственного цикла, поэтому ва- жен контроль состояния АД на протяжении всего пе- риода эксплуатации [2]. Для организации такого контроля необходимы мето- ды, способные определить техническое состояние АД на текущий момент без остановки и вмешательства в нор- мальный режим работы оборудования. Исследования раз- личных методов контроля представлены в [3–5]. В условиях реальной эксплуатации подводимое к оборудованию напряжение не всегда симметрично и одинаково по всем фазам. Возникновение неравномер- ного распределения может быть связано с подключени- ем мощной нагрузки на одну из фаз и, как крайний случай, замыканием или обрывом одного из фазных проводов. В результате работы АД в воздушном зазоре между ротором и статором возникают силы, имеющие вра- щающийся и пульсирующий характер [6, 7]. Амплиту- да и частота данных силовых волн зависят от механи- ческих нагрузок и конструктивного исполнения элек- тродвигателя. В результате появления даже незначительной не- симметрии (2–3 %) возникают тангенциальные колеба- ния ярма статора на удвоенной частоте питающей сети, связанные с воздействием крутящего момента. Ради- альные колебания способствуют развитию колебаний статора второй формы r = 2 , при которых статор при- нимает форму эллипса. Моделирование. Математически распределение тангенциальных магнитных сил в воздушном зазоре находится из следующих выражений [8]: , 10 ), ( ), ( 2 ⋅ ϑ ⋅ ϑ = τ t b t a p (1) где ),( t a ϑ — линейная токовая нагрузка статора или ротора; ), ( ), ( ), ( t t f t b ϑΛ⋅ ϑ = ϑ — магнитная ин- дукция в воздушном зазоре в точке с координатой  в момент времени t ; ), ( t f ϑ и ), ( t ϑΛ — мгновенные значения результирующей м.д.с. обмоток статора и ротора и магнитной проводимости зазора: ), cos( ) cos( A t), a( 2 1 2 1 1 1 a a t p A t p ϕ−ω+ϑ + + ϕ−ω−ϑ = ϑ (2) ), cos( ) cos( ), ( 2 1 2 1 1 1 b b t p B t p B t b ϕ−ω+ϑ + + ϕ−ω−ϑ = ϑ (3) где 2 1 A;A ; 2 1 B;B — линейная токовая нагрузка ста- тора и индукция результирующего магнитного поля в воздушном зазоре прямого и обратного следования фаз; p — число пар полюсов; c f π=ω 2 1 ; c f — частота сети (50 Гц); 2 1 ; a a ϕϕ — фазы прямого и обратного тока статора; 2 1 , b b ϕϕ — фазы индукции магнитного поля в зазоре прямого и обратного следования. Крутильные колебания статора ( 0 r = ) возникают под воздействием тангенциальных сил. Подставляя (2) и (3) в уравнение (1), получим вы- ражение [9]: ). ( 105,0 2 t p t p const p p p p p ϑω ω ϑ τ τ τ τ τ + + + ⋅ = (4) Уравнение тангенциальных сил включает четыре составляющие: – постоянные: ); cos( ) cos( 2 2 22 1 1 11 b a b a const BA BA p ϕ−ϕ + + ϕ−ϕ = τ – зависящие от углового положения и числа пар по- люсов: ); 2 cos( ) 2 cos( 1 2 12 2 1 21 b a b a p p BA p BA p ϕ−ϕ−ϑ + + ϕ−ϕ−ϑ = ϑ τ – зависящие от времени и угловой скорости: ); 2 cos( ) 2 cos( 1 2 1 12 2 1 1 21 b a b a t t BA t BA p ϕ+ϕ−ω + + ϕ−ϕ+ω = ω τ – зависящие от углового положения, числа пар по- люсов, от времени и угловой скорости: ); 2 2 cos ( ) 2 2 cos ( 2 2 1 22 1 1 1 11 b a b a t p t p BA t p BA p ϕ−ϕ−ω+ϑ + + ϕ−ϕ−ω−ϑ = ϑω τ Вращающий момент ротора, в зависимости от рас- пределения по поверхности ротора тангенциальных магнитных сил, равен: . 2 2 0 ∫ π τ ϑ π= dp lR M 2 вр (5) После интегрирования по угловой координате  в диапазоне ]2;0[ π ϑ получим: )]. -t cos(2 BA ) - t cos(2 BA ) - cos( BA ) - cos( B[AlR M b1 a2 1 1 2 b2 a1 1 21 a2 b2 2 2 a1 b1 11 2 вр ϕ+ϕω + + ϕ ϕ+ω + + ϕ ϕ + + ϕ ϕ π= (6) Так как уравнение вращающего момента (6) содер- жит составляющие, изменяющиеся во времени с часто-