Systems. Methods. Technologies 2 (38) 2018

Systems Methods Technologies. E.G. Khitrov et al. Method of solving …2018 № 2 (38) p. 116-120 118 где a 0 , a 1 , b 0 , b 1 , b 2 , c 0 , c 1 , c 2 , c 3 —коэффициенты, харак- теризующие зависимости модуля деформации от коор- динаты z . Примем в общем виде зависимости несущей спо- собности от координаты z : z p S 1 0 α+α= , (12) 2 2 1 0 z z p S β+β+β= , (13) 3 3 2 2 1 0 z z z p S γ+ γ+γ+γ= , (14) где α 0 , α 1 , β 0 , β 1 , β 2 , γ 0 , γ 1 , γ 2 , γ 3 —коэффициенты, харак- теризующие зависимости модуля деформации от коор- динаты z . Значение h определим из решения уравнения (7) по- сле подстановки в него формулы (8), одной из зависи- мостей (9) – (11) и одной из зависимостей (12) – (14). Найти аналитическое решение уравнения (7) в общем случае затруднительно, по этой причине обратимся к численным методам. В качестве примера для расчета используем данные, представленные на рис.1. Деформируемый массив грунта имеет толщину 0,6 м, известны четыре значения модуля деформации E (2,3 МПа при z = 0 м; 0,5 МПа при z = 0,2 м; 1,8 МПа при z = 0,4 м; 1,2 МПа при z = 0,6 м) и четыре значения несущей способности p S (0,27 МПа при z = 0 м; 0,18 МПа при z = 0,2 м; 0,11 МПа при z = 0,4 м; 0,11 МПа при z = 0,6 м). Рис. 1. Исходные данные к примеру расчета осадки штампа По предложенным исходным данным найдем коэф- фициенты зависимостей (11) и (14), тогда: 3 2 17, 104 25, 101 083 ,25 3,2 z z z E − + − = (15) 3 2 0417 ,1 375 ,0 4167 ,0 27,0 z z z p S + − − = (16) Для примера расчета примем p = 0,8 МПа; b = 0,7 м; a = 0,6; J = 1,2. Подставим формулы (8), (15), (16) в уравнение (7) и решим последнее численно относительно h при приня- тых значениях p , a , b , J . Методом итераций найдем значение h = 0,08042 м (расчет выполнен в программе Maple 2015). При тех же значениях p , a , b , J решим уравнение для суммарной деформации сжатия массива грунта без учета сдвига: ∫ − − = L hH L dz E h 0 0   . (17) Методом итераций найдем значение h L = 0,04688 м. Предположим, что найденное значение h равно корню h 0 известного уравнения для полной осадки штампа при вдавливании в однородный массив грунта с модулем E 0 и толщиной H 0 = H : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jp EEp p Jp EE abp p phpHE pab Jp h S S S − −         − − − = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 arctan , (18) а найденное значение h L , в свою очередь,—корню h L 0 уравнения для деформации сжатия однородного масси- ва грунта: ( ) ( ) ( ) Jp EE Jp EE ab h HE Jpab h L L −         − − = 0 0 0 0 0 0 0 0 arctan , (19) где p S 0 —несущая способность однородного массива грун- та, значение которой найдем из решения уравнения: 0 0 0 0 L S S h p p p h ⋅ − = . (20) Подставив решение уравнения (20) p S 0 = 0,19182 МПа в формулу (18), придем к трансцен- дентному уравнению относительно E 0 , корень которого E 0 = 0,81547 МПа. Таким образом, найдены характеристики однород- ной опорной поверхности, у которой, при принятых исходных данных, интегральные показатели взаимо- действия со штампом h 0 и h L 0 равны показателям взаи- модействия штампа с неоднородным массивом грунта h и h L . Очевидно, что, в плане вычислений, найти h 0 и h L 0 по формулам (18), (19) заметно проще, чем решить уравнения (7), (17). Кроме того, учтем, что значения h и h L используются в математических моделях при расче- те тягово-сцепных свойств движителя, который ведется по уравнениям, также не имеющим замкнутых анали- тических решений. В связи с этим полагаем, что пере- ход к «эквивалентным» характеристикам массива грун- та сделает решение задач о взаимодействии движителя с неоднородной опорной поверхностью более эффек- тивным с практической точки зрения. Результаты исследования. Реализуем вычисли- тельный эксперимент на базе изложенного подхода, формализованного в процедурах программы Maple 2015. Расчеты выполнены при линейных функциях E и p S (9) и (12), квадратичных —(10) и (13), кубических — (11) и (14). z , м E, МПа pS, 0,1 МПа