Systems. Methods. Technologies 1 (37) 2018

Systems Methods Technologies. V.A. Koronatov. Generalization of a qualitatively … 2018 № 1 (37) p. 45-55 52 сухого трения в виде разложения в ряд Тейлора, и при- менялся метод осреднения. 1. В случае чистого качения, когда ( ) V и −β≡ ≡υ ≠β    Rx0 0 , должно выполняться: [ ] ⇒     − =β ∈ − −= .M RF C ; f,f f где ,F px xm c c c   1 1 - . Nsign Rpx qmR β ρ− −=β   0 2 (7) Здесь . 1 2 mR C q += Окончание режима чистого ка- чения произойдет тогда, когда одновременно: pR N xи 0 0 ρ ≤ =β  , в противном случае, когда pR N xи 0 0 ρ > =β  , произойдет мгновенная смена на- правления вращения колеса. Кроме того, чистое качение может перейти в качение с проскальзыванием. Условие отсутствия скольжения: [ ] 1 1 , - ,0 1 f f f где k fN xp ∈ ≡ − . Здесь β ∆ ε+=  b k 1 — коэффициент динамичности, определяющий влияние угловой скорости качения на силу трения. Проскальзывание начнется тогда, когда:         − ε ∆=β⇒ =⇒ = 1 1 1 1 1 xp Nf b xp Nf k k Nf xp * * *  , где −β * * ,k  критические значения соответственно для коэффициента динамичности и угловой скорости каче- ния, при которой начнется проскальзывание колеса. Тем самым, получаются следующие кинематические условия для режима чистого качения: a) при −β<β< * 0   будет чистое качение; b) при −β≥β *   будет качение с проскальзыванием; c) при pR N xи 0 0 ρ≤ =β  — остановка чистого каче- ния; d) при pR N xи 0 0 ρ > =β  — будет смена направле- ния вращения колеса. 2. В случае чистого скольжения, когда ( ) υ≡ ≠υ ≡β    x0 0 и , должно выполняться:   Nsign f px m 0 − −=  . (8) Окончание чистого скольжения произойдет, когда одновременно: p Nf xи 0 0 ≤ =υ . В противном случае, когда p Nf xи 0 0 > =υ , произойдет лишь мгновенная смена направления проскальзывания. Чистое скольже- ние может перейти в режим качения с проскальзывани- ем. Чтобы установить это, запишем условие отсутствия качения: [ ] . - 0 1 0 1 1 1 0 0 ρρ∈ρ = ρ− ⇒= ρ−υ , где , k Rf k N NRsign f ^ ^ Здесь   a k += 1 ^ — коэффициент динамичности, оп- ределяющий влияние скорости скольжения на момент трения. Качение начнется, когда:       − ρ∆=υ⇒ρ=⇒ρ= 1 0 1 0 1 1 0 Rf a Rf k k Rf * * ^ * ^ , где − * ^ , *  k критические значения соответственно для коэффициента динамичности и линейной скорости скольжения, при которой начнется качение колеса. В формуле для определения критической скорости скольжения должно выполняться: Rf 0 1 >ρ , т. е. тре- ние качения должно превышать трение скольжения, что в реальных случаях может быть крайне редко. По- этому в большинстве случаев чистое скольжение не может переходить в режим качения с проскальзывани- ем и заканчивается остановкой. В случае, когда Rf 0 1 >ρ , получаются следующие кинематические условия для режима чистого скольжения: a) при −υ<υ< * 0 будет чистое скольжение; b) при −υ≥υ * будет качение с проскальзыванием; c) при p Nf xи 0 0 ≤ =υ — остановка чистого скольжения; d) при p Nf xи 0 0 > =υ — будет смена направле- ния скольжения. Отметим, что условие Rf 0 1 >ρ является необходи- мым условием перехода из режима чистого скольжения в режим качения с проскальзыванием; в противном случае колесо не сможет выйти из режима чистого скольжения и, согласно уравнению (8), могут возни- кать автоколебания. Итак, условием возникновения автоколебаний, при котором будет наблюдаться чистое скольжение, является: Rf 0 1 ≤ρ . При Rf 0 1 >ρ , как следует из дальнейших выкладок, тоже могут возни- кать автоколебания, во время которых будет происхо- дить чередование чистого скольжения и качения с про- скальзыванием. Действительно, из записанных ниже уравнений (9) видно, что β  может быстро убывать по- сле входа в режим качения с проскальзыванием, т. е. будет происходить возвращение в режим чистого скольжения, после чего этот цикл снова повторится. Для сравнения заметим, что ранее В.Ф. Журавле- вым в работе [27] с помощью метода осреднения было получено: при fR >ρ будут возникать автоколебания в