Systems. Methods. Technologies 4(36) 2017

Systems Methods Technologies. A.V. Eliseev et al. Dyad as a basis … 2017 № 4 (36) p. 25-38 36 3. Частотно - энергетическая функция . Рассматри - вается система координат 1 y и 2 y . Кинетическая и по - тенциальная энергии определяются соответственно : 2 22 2 11 2 1 2 1 ym ym & & + =Τ , (76) 2 1 2 2 ) ( 2 1 y y k − =Π . (77) Полагается , что система совершает собственные ко - лебания t A y ω = sin 2 2 , t A y ω = sin 1 1 . Отношение ам - плитуд составляет 1 2 AA =α . Можно показать , что максимум кинетической и потенциальной энергии сов - падают : max max Π= Τ . (78) Таким образом , частотно - энергетическая функция принимает вид : 2 2 1 2 2 2 )1 ( m m k α+ −α =ω . (79) Найдем первую производную функции (79): 2 2 2 1 2 1 2 2 ) ( ) )(1 ( 2 ) ( m m m m k α+ α+ −α = α∂ ω∂ (80) и найдем две экстремальных точки : 1 1 =α , 2 1 2 m m −=α . (81) Отметим , что для диады выполняются условия : 0 ) ( 1 2 =αω , 21 2 1 2 2 2 ) ( mm mm k + =αω , 1 2 2 )0( m k = ω , 2 2 2 ) ( lim m k =αω ∞→α , 2 2 1 2 2 2 )1 ( m m k α+ −α =ω . (82) На рис . 12 приведен график частотной энергетиче - ской функции . По оси абсцисс отложен коэффициент ∞→α . График в системе координат 1 y , 2 y имеет ха - рактерную форму , определяющую возможности прояв - ления экстремальных свойств на двух частотах , в дан - ном случае , ) ( 1 2 αω , ) ( 2 2 αω . График частотно - энергетической функции (1, рис . 12) при ∞→α обла - дает асимптотой (2, рис . 12), ордината которой равна частоте динамического гашения 01 ω . Пересечение гра - фика энергетической функции оси ординат определяет вторую частоту динамического гашения 02 ω со значе - нием , представленным прямой (3, рис . 12). Максимум и минимум энергетической функции определяют собст - венные частоты . При переходе к системе координат 1 v , 2 v меняются вид частотной энергетической функции и ее график . Рассматривается система координат 1 v и 2 v . Кине - тическая и потенциальная энергии равны соответст - венно : 2 2 2 1 21 2 1 2 1 2 1 ) ( 2 1 v mm mm vmm & & + + + =Τ , (83) 2 22 2 1 vk =Π . (84) Рис . 13. Энергетическая функция в системе координат 2 1 , yy : кривая (1) — график частотно - энергетической функции ; прямая (2) — асимптота частотно - энергетической функции при ∞→α , равная частоте динамического гашения 01 ω ; прямая (3) пересекает частотно - энергетическую функцию в значении частоты динамического значения 02 ω ; прямая (4) пересекает график частотно - энергетической функции в точке максимума Полагается , что система совершает собственные ко - лебания t B v ω = sin 2 2 , t B v ω = sin 1 1 . Отношение ам - плитуд составляет 1 2 BB =β . Из соотношения max max Π= Τ , представленного в переменных β , 1 B получается соотношение : 2 1 2 2 2 1 22 2 1 21 2 1 2 2 1 2 1 2 1 ) ( 2 1 B k B mm mm B mm β = βω + + ω + . (85) Полученное выражение может быть преобразовано к виду : 2 2 2 22 0 1 1 1 ω = ω + βω , (86) где 2 1 2 2 0 mm k + =ω . Таким образом , частотно - энергетическая функция имеет вид : 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 ω+ωβ ωωβ =ω . (87) Возьмем первую производную : 22 2 2 0 2 2 0 4 2 2 ) ( 2 ) ( ω+ωβ ω βω = β∂ ω∂ . (88) Функция )( 2 βω монотонно возрастает на положи - тельной полуоси 0 ≥β . Если коэффициент формы 0 1 =β , то функция 2 ω достигает локального минимума , равного нулю . Если коэффициент формы стремится к бесконечности ∞→β , то функция 2 2 2 ω→ω . Частоты динамического гашения совпадают с собственными частотами . Локальные максимум и минимум вырожда - ются в асимптотические значения [24].