Systems. Methods. Technologies 4(36) 2017

Системы Методы Технологии . А . В . Елисеев и др . Диада как основа … 2017 № 4 (36) с . 25-38 31 абсцисс отложены частота вынужденных колебаний , по оси ординат — значения безразмерных коэффициентов форм 1 α и 2 α . В частности , график коэффициента формы 2 α изображен монотонно убывающей кривой (3) ( рис . 2), а график коэффициента формы 1 α с разры - вом 2- го рода иллюстрируется с помощью кривой (4) ( рис . 2). Данные графики ((3) и (4), рис . 2) пересекают - ся в двух точках — (1) и (2) ( рис . 2) с абсциссами 1 ω , 2 ω и ординатами 1 α , 2 α соответственно . Ноль функ - ции , отображенной кривой (3) ( рис . 2), определяет час - тоту динамического гашения 01 ω . Полюс функции , отображенной кривой (4) ( рис . 2), определяет частоту динамического гашения 02 ω . Таким образом , постро - енные графики функций коэффициентов форм , в зави - симости от частоты внешнего силового воздействия , иллюстрируют основные характеристики диады : часто - ты динамического гашения , собственные частоты и величины коэффициентов форм , соответствующие соб - ственным частотам . 4. Свойства коэффициентов форм колебания . При заданной частоте внешнего воздействия ω коэффици - ент формы колебания , представляющий собой отноше - ние )( )( )1( 1 )1( 2 t x t x и соответствующий приложению силы с амплитудой 1 Q к массе 1 m , имеет вид : 2 2 01 2 01 1 ω−ω ω =α , (50) где 2 2 2 1 1 2 01 ω + =ω mm m — соответствующая частота ди - намического гашения . По фиксированному коэффициенту формы колеба - ния 1 α можно определить исходную частоту )1( ω внешнего силового возмущения 1 Q : 2 01 1 1 2 )1( )1 ( ω α −α = ω . (51) Аналогично , при силовом возмущении с амплиту - дой 2 Q , приложенном к массе 2 m , коэффициент фор - мы имеет вид : 2 02 2 2 02 2 ω ω−ω=α , (52) где 2 2 2 1 2 2 02 ω + =ω mm m — соответствующая частота ди - намического гашения . С другой стороны , по фиксированному коэффици - енту формы колебания частота внешнего возмущения определяется выражением : 2 02 2 2 02 2 )2( ωα−ω= ω . (53) На рис . 3 представлены графики зависимости частот форм колебаний ) ( 1 2 )1( α ω , ) ( 2 2 )2( α ω от параметров 1 α , 2 α . По оси абсцисс отложен безразмерный коэффици - ент формы α , который служит независимой перемен - ной при подстановке 1 α и 2 α в качестве аргумента в функции ) ( 1 2 )1( α ω , ) ( 2 2 )2( α ω , определенные выраже - ниями (51) и (53). По оси ординат отложены квадраты частот ) ( 1 2 )1( α ω , ) ( 2 2 )2( α ω . С учетом условий 2,1 ,0 ) ( 2 )( = ≥α ω i i i значимой областью графика слу - жат квадранты I и II. Кривые (1) и (2) ( рис . 3) представ - ляют собой графики квадратов частот ) ( 1 2 )1( α ω , ) ( 2 2 )2( α ω соответственно , отражающих обратную за - висимость с учетом показателя степени для функций ) ( 1 ωα , )( 2 ωα , представленных выражениями (47) и (48). Графики (1) и (2) ( рис . 3) пересекаются в точках (3) и (4) ( рис . 3) с абсциссами , равными коэффициен - там форм 1 α , 2 α собственных колебаний , и ордината - ми , которые равны квадратам собственных частот , со - ответственно 2 1 ω , 2 2 ω . В точке пересечения графика (2) ( рис . 3) с осью ординат находится частота — квад - рат частоты динамического гашения 2 02 ω . Квадрат час - тоты динамического гашения 2 01 ω равен предельному значению функции ) ( 2 )2( α ω при ∞→α . Рис . 4. Зависимость значений 2 ω от коэффициента формы α : 1 ω , 2 ω — собственные частоты колебаний ; 01 ω , 02 ω — частоты динамического гашения ; кривая (1) — график функции ) ( 1 2 )1( α ω ; прямая (2) — график функции ) ( 2 )2( α ω ; точки (3) и (4) — пересечения графиков (1) и (2) Приравнивание выражений ) ( 2 )1( α ω , ) ( 2 )2( α ω при - водит к уравнению относительно коэффициента форм α в виде : 0 ) ( 2 01 2 02 2 01 2 02 2 =ω−αω−ω+ωα . (54) Таким образом , коэффициенты форм α определя - ются выражением : 1 1 =α , 2 02 2 01 2 ω ω−=α . (55)