Systems. Methods. Technologies 4(36) 2017

Systems Methods Technologies. A.V. Eliseev et al. Dyad as a basis … 2017 № 4 (36) p. 25-38 28 ) ) sin( ) sin( ( ) ( ) ( ) sin( 1 ) ( )( 2 2 2 2 2 2 1 12 2 2 1 1 )( 1 ω ω − ω ω ω−ω ω + − −ω ω + −= Π t t Mmm Qm t mm Q t y b . (17) По координате 2 y эффект биения создает компо - нента : ) ) sin( ) sin( ( ) ( ) ( ) sin( 1 ) ( )( 2 2 2 2 2 2 1 11 2 2 1 1 )( 2 ω ω − ω ω ω−ω ω + + +ω ω + −= Π t t Mmm Qm t mm Q t y b , (18) где 1 Q — амплитуда внешней гармонической силы )( 1 tq . II.2 Абсолютная координатная система . Обобщенные координаты v 1 , v 2 . Детализация представлений о движе - нии диады существенным образом определяется формами движения центра масс и относительным колебанием мас - соинерционных элементов . Для исследования диады вы - бирается новая система координат , в которой 2 O — не - подвижное положение равновесия системы ; 1 v — смеще - ние центра масс ; 2 v — разница смещений положений массоинерционных элементов диады . Кинетическая ) , ( 2 1 vv Τ и потенциальная энергии ) , ( 2 1 vv Π принимают следующие выражения : 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( 2 1 ) , ( v mm mm vmm vv & & + + + = Τ , (19) . 2 1 ) , ( 2 22 2 1 vk vv = Π (20) Уравнения Лагранжа 2- го рода в обобщенных коор - динатах 1 v , 2 v и силах ) sin( 1 1 t F f ω = и ) sin( 2 2 t F f ω = принимают вид :      = + + = + . , ) ( 2 22 2 2 1 2 1 1 1 2 1 f vk v mm mm f vmm && && (21) (22) Для системы (21), (22) начальные условия опреде - ляются значениями :    = = = = . )0( , )0( , )0( , )0( 21 2 20 2 11 1 10 1 v v v v v v v v & & (23) В разных системах координат дифференциальные уравнения (6), (7) и (21), (22) связаны между собой по - средством замены переменных 1 y , 2 y и 1 v , 2 v :      − = + + = . , 1 2 2 2 1 22 11 1 y y v mm ym ym v . (24) Взаимосвязь (24) обобщенных координат устанав - ливает начальные условия в координатной системе 1 v , 2 v . Начальные условия на смещения в координатах 1 v , 2 v могут быть выражены с учетом (24) в виде :      − = + + = . , 10 20 20 2 1 20 2 10 1 10 y y v mm ym ym v . (25) Соответствующие начальные скорости в системе координат 1 v , 2 v могут быть найдены из соотношений :      − = + + = . , 11 21 21 2 1 21 2 11 1 11 y y v mm ym ym v . (26) Обобщенные силы ) sin( 1 1 t F f ω = , ) sin( 2 2 t F f ω = и ) sin( 1 1 t Qq ω = , ) sin( 2 2 t Qq ω = в системах координат 1 v , 2 v и 1 y , 2 y связаны между собой соотношениями :      + − = + = , , 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 mm mq mq f q q f или . , 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1        + + = + + −= f mm m f q f mm m f q (27) Решение системы дифференциальных уравнений в системе координат 1 v , 2 v может быть выражено на ос - нове решений (6), (7) с учетом зависимости обобщен - ных сил (27) и начальных условий (25), (26) в виде :           ω ω + ω + + ω ω − ω ω ω−ω ω = + + ω ω − + ω = Π , ) sin( ) cos( ) ) sin( ) sin( ( ) ( )( , ) ) sin( ( ) ( )( 2 2 21 2 20 2 2 2 2 2 2 2 11 10 2 1 1 1 t v t v t t M F t v tv v t t mm F tv (28) (29) где 2 1 2 1 mm mm M + = Π — приведенная масса ; Π =ω Mk 2 2 , что совпадает с выражениями , ранее полученными в (6), (7). Решения (28), (29) представляют собой : по первой координате )( 1 tv — смещение центра масс , образован - ное суммой равномерного прямолинейного движения и гармонического колебания , по второй координате )( 2 t v — разницу относительных смещений массоинерцион - ных элементов в форме гармонических колебаний . По - лученное решение показывает , что центр масс системы двигается не линейно , а содержит гармоническую ком - поненту . Интерес представляют величины смещения 1 u , 2 u каждого массоинерционного элемента 1 y , 2 y относи - тельно положения центра масс 1 v с учетом соотношений :    + = + = . , 2 1 2 1 1 1 u v y u v y (30)