Systems. Methods. Technologies 4(36) 2017

Systems Methods Technologies. A.V. Eliseev et al. Dyad as a basis … 2017 № 4 (36) p. 25-38 26 ления , действия внешних возмущений , возникновения сопутствующих динамических эффектов являются важнейшими этапами в разработке новой техники , об - ладающей высокими параметрами надежности и безо - пасности эксплуатации [6–8]. Развитие теории колебаний в ее различных приклад - ных направлениях предлагает достаточно широкий спектр возможных подходов , методов , основанных на использовании аналитического аппарата теории цепей и теории автоматического управления , что отражает рас - ширение функциональных возможностей машин [9–11]. Вместе с тем , возрастает интерес к углублению и детализации представлений о динамических взаимо - действиях элементов , основанных на развитии новых подходов , связанных с учетом возможностей введения в механическую систему дополнительных связей , меха - низмов и устройств для преобразования движения , ис - пользования в задачах динамического анализа и синте - за структурных образований и др . [12–15]. В предлагаемой статье рассматриваются возможно - сти развития новых подходов в формировании теорети - ческих основ анализа и синтеза виброзащитных систем на основе представлений об особых структурных обра - зованиях ( диадах ), составляющих основу или своеоб - разное « ядро » механической колебательной системы с двумя степенями свободы . Общие положения . Постановка задачи исследо - вания . Структурные математические модели систем с несколькими степенями свободы обычно строятся на основе парциальных систем , имеющих одну степень свободы . Технология получения и использования структурных схем на таких подходах изложена в рабо - тах [2, 11, 15, 16]. Вместе с тем , в структурных схемах с тремя и более степенями свободы делались попытки использовать парциальные системы более сложного вида , в частности , парциальные системы с двумя сте - пенями свободы . Детализированные представления взаимодействий подобного рода рассмотрены в работах [17, 18]. Промежуточной формой представлений о пар - циальных системах может быть выбрана диада как не - которое структурное образование , обладающее опреде - ленным набором устойчивых динамических свойств и способное выступать в качестве системообразующего начала при построении механических колебательных систем общего вида [9, 19, 20]. Применительно к линейным цепным механическим системам , имеющим несколько степеней свободы и совершающим малые прямолинейные колебательные движения , диада может быть представлена в виде двух массоинерционных элементов , соединенных между собой пружиной и совершающих прямолинейное коле - бание , как это показано на рис . 1. Рассматривается структурное образование из двух массоинерционных элементов 1 m и 2 m , соединенных линейной пружиной с жесткостью 2 k ( рис . 1). Внешние гармонические силы ) sin( 1 1 t Qq ω = и ) sin( 2 2 t Qq ω = приложены к массоинерционным элементам ; силы со - противления полагаются малыми ; система обладает линейными свойствами . Рис . 2. Принципиальная схема диады : 1 q , 2 q — приложен - ные внешние силы Движение механической системы ( рис . 1) может быть представлено в разных системах координат для отражения интересующих аспектов исследования . Задача исследования заключается в детализации пред - ставлений о диаде как некотором структурном образова - нии , обладающем определенным набором динамических свойств , и разработке подходов к построению математи - ческих моделей , отражающих возможные особенности взаимодействия в структурах механических колебатель - ных систем с несколькими степенями свободы . Построение математических моделей . II.1. Абсолютная координатная система . Обобщен - ные координаты y 1 , y2. В качестве обобщенных коор - динат выбираются величины 1 y и 2 y , которые обозна - чают в неподвижном базисе смещение массоинерцион - ных элементов относительно некоторого положения статического равновесия 1 O . При составлении диффе - ренциальных уравнений Лагранжа 2- го рода для кине - тической ) , ( 2 1 yy Τ и потенциальной энергии ) , ( 2 1 yy Π используются выражения : 2 2 ) , ( 2 22 2 11 2 1 ym ym yy & & + = Τ , (1) . 2 ) ( ) , ( 2 1 2 2 2 1 y y k yy − = Π (2) Соответствующие дифференциальные уравнения движения диады в абсолютной системе координат 1 y и 2 y принимают вид :    = + − = − + )4( . )3( , 2 22 12 22 1 22 12 11 q yk yk ym q yk yk ym && && Начальные условия в момент времени 0 = t на смещения и скорости представлены соответственно системой :    = = = = . )0( , )0( , )0( , )0( 21 2 20 2 11 1 10 1 y y y y y y y y & & (5) Аналитическое решение системы дифференциаль - ных уравнений (3), (4) с учетом начальных данных (5) может быть представлено :