Systems. Methods. Technologies 4(36) 2017

Systems Methods Technologies. A.V. Eliseev et al. Mathematical models … 2017 № 4 (36) p. 18-24 20 отражающих особенности среды , в которой реализует - ся движение щетки , а также сил , вызванных движения - ми корпуса ТЭД , отражается введением дополнитель - ной силы F , в общем случае имеющей сложную зави - симость от положения щетки и состояния среды . Задача исследования заключается в определении особенностей форм движения для различных ампли - тудно - частотных параметров в зависимости от допол - нительной силы F . Математическая модель взаимодействия щетки с коллектором . Для построения математической моде - ли , учитывающей дополнительные силы , вначале стро - ится модель с учетом только гравитационных сил , дей - ствующих на щетку , совершающую движения в верти - кальном направлении . 1. Гравитационная модель движения щетки в про - цессе взаимодействия с поверхностью коллектора строится на основе обобщенной функции зазора , пред - ставляющей собой разницу между всевозможными формами движения щетки в свободном движении по - сле принудительного контакта с коллектором в произ - вольный момент времени 0 t [20]. Обобщенная форма H X движения щетки после принудительного контакта , определяемого условиями равенства положений и ско - ростей щетки и поверхности коллектора в момент вре - мени 0 t , может быть найдена из системы уравнений :          ω = ω ω= ∂ ∂ ≥ −= ∂ ∂ = = ), sin( ) ,( ) cos( ) ,( , ) ,( 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 t A tt X t A t tt X t tg t tt X t t H t t H H , (1) где A , ω — амплитуда и частота колебания поверхно - сти ; t 0 — момент времени принудительного контакта щетки и коллектора ; H X — обобщенная форма дви - жения щетки ( представляет собой семейство форм движений , определяемых всевозможными динамиче - скими состояниями поверхности коллектора ). Сравнение обобщенной формы движения щетки с формой движения поверхности позволяет определить момент возникновения зазора и построить форму сво - бодного движения щетки в фазе отрыва от поверхности коллектора . 2. Обобщением понятия зазора на случай всевоз - можных форм движения щетки служит обобщенная функция зазора вида [8; 20]: )( ) ,( ) ,( 0 0 tH tt X tt R H H − = , (2) где ) ,( 0 tt X H — обобщенная форма свободного дви - жения щетки ; )( tH — форма движения поверхности коллектора . Точка отрыва 0 t , в которой происходит смена фазы контакта на фазу свободного движения , может быть определена на основе дифференциального критерия отрыва [8, 20]. Для гармонической формы движения поверхности коллектора возможны два принципиально различных варианта отрыва щетки , отличающихся по - следовательностью фазовых состояний . В случае , когда щетка из фазы пролеживания переходит в критическую фазу с нулевой контактной реакцией , а затем отрывает - ся от поверхности , момент отрыва находится из систе - мы условий :          > = = = = = = = .0 ) ,( ,0 ) ,( ,0 ) ,( ,0 ) ,( 0 0 0 0 0 0 0 0 t t H t t H t t H t t H tt R tt R tt R tt R &&& && & (3) В случае же , когда щетка , оказавшись после паде - ния на поверхности и приняв скорость движения по - верхности , вынуждена оторваться в тот же момент , исключая фазу пролеживания , момент отрыва опреде - ляется из условий :        > = = = = = .0 ) ,( ,0 ) ,( ,0 ) ,( 0 0 0 0 0 0 t t H t t H t t H tt R tt R tt R && & (4) Точка отрыва , для которой третья производная от функции зазора положительна , может быть условно названа точкой отрыва 3- го порядка , если же положи - тельна вторая производная от функции зазора — точ - кой отрыва 2- го порядка . В работе [8] показано , что учет возможности реали - зации отрыва с заданным порядком создает предпо - сылки формирования динамических особенностей ре - жимов периодического контактирования щетки с по - верхностью коллектора . 3. Существенным фактором формирования режимов движения щетки с отрывом служит учет дополнитель - ных сил , действующих в направлении сил тяжести или направлении , противоположном силам тяжести . В табл . 1 представлены основные характеристики отрыва 3- го порядка для модели с учетом дополни - тельной силы F r . В аналитических выражениях ис - пользуется модуль f дополнительной силы F r . Если сила F r сонаправлена с силой тяжести , то используется знак «+», если противоположна силе тяжести — знак «–». Основной интерес в рамках задачи исследования ди - намики элементов коллекторно - щеточного узла в зави - симости от дополнительных сил представляют такие параметры , как величина и длительность нарушения контакта между щеткой и поверхностью коллектора . Чувствительность длительности подлета к массе щетки для режима движения с отрывом . Для иссле - дования характеристик процесса подбрасывания щетки в зависимости от ее массы m и дополнительной силы F можно определить соответствующие производные мо - мента времени отрыва , высоты и длительности подлета