Systems. Methods. Technologies 4(36) 2017

Системы Методы Технологии . И . В . Бачериков и др . Стохастическая модель … 2017 № 4 (36) с . 182-186 183 Введение Применение математических методов в оптимиза - ции технологических процессов лесозаготовки и вы - возки древесного сырья для преодоления тирании аль - тернатив является весьма актуальной темой как за ру - бежом [1–11], так и в России . В ряде работ [12–15] исследовался процесс лесозаго - товок как строго детерминированной системы , что не вполне соответствует реальным условиям — данные , которыми располагают лесопользователи при стратеги - ческом , тактическом и оперативном планировании , дале - ко не всегда точны , а информация о ходе рубок , несмот - ря на развитие современных систем связи , не всегда ак - туальна и поставляет аналитику с некоей задержкой . Таким образом , приходится предпринимать дейст - вия в условиях риска и неопределенности , а значит , можно решать задачу планирования технологических процессов лесозаготовок методами стохастического программирования , т . е . с учетом того , что некоторые параметры , входящие в целевую функцию , и ограниче - ния , накладываемые на решение , представляют собой случайные величины [16–21]. При использовании байесовского подхода все пара - метры считаются случайными , и математическая модель имеет две стадии : первую , описывающую предваритель - ную информацию о неизвестных параметрах с неким ве - роятностным распределением , и вторую , описывающую функции правдоподобия наблюдаемых значений . При использовании подхода , связанного с использо - ванием критерия минимакса , альтернативы оценивают - ся по наихудшим ( наилучшим ) последствиям . В разра - ботке математической модели мы придерживались вто - рого способа , однако следует понимать , что каждый подход имеет свои достоинства и недостатки . Так , на - пример , использование детерминированного подхода к анализу и принятию неизвестных параметров на осно - вании экспертной оценки дает значительный запас прочности модели , однако влечет большие затраты там , где их можно избежать . Разрабатываемая модель . Оптимальный объем за - готовок х оценивается по производительности лесной машины . Вероятность того , что случайная величина объема заготовок х примет значение , заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распреде - ления на этом интервале : )( )( ) ( aF bF b x aP − = << . (1) Допустим , что справедливы следующие предельные соотношения : 0 )( lim = −∞→ xF x (2) и : 1 )( lim = +∞→ xF x . (3) Следовательно : ∫ +∞ ∞− = dx xf xF )( )( . (4) Если уровень объема заготовки t недостаточен до нормального объема заготовки x н , т . е . t < x н , то возни - кают потери , связанные с появившимся дефицитом ( нехваткой ) объема заготовки . Если уровень объема заготовки древесины превышает x н , т . е . t > x н , то уве - личиваются издержки ( потери ), связанные с содержа - нием лесной машины . Возможный компромисс состоит в выборе такого нормативного объема заготовки древе - сины t , который уравновешивал бы оба вида указанных потерь . Коэффициент увеличения объема заготовки древе - сины q 1 : m Q Q q max 1 = , (5) где Q max — максимальный объем заготовки древесины ; Q m — математическое ожидание объема заготовки дре - весины . Коэффициент уменьшения объема древесины q 2 : m Q Q q min 2 = , (6) где Q min — минимальный объем древесины . Выбирается такой уровень объема заготовки t , при котором потери объема древесины были бы наимень - шими :    > − < − = = t x при ), ( t x при ), ( 2 1 ) ( t xq x tq QQ X . (7) Так как функция неизвестна , можно воспользовать - ся критерием среднего значения объема заготовки от дефицита и потерь : ∫ ∫ ∫ ∞ ∞− +∞ ∞− → − + − = = ⋅ = = t t dxxf t xq dxxfx tq dxxf xQ QMZ min )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( 2 1 (8) Целевая функция Z (8) имеет единственный мини - мум , который можно определить из уравнения Z' = 0. Дифференцируя функцию (8) по t , получим уравнение : ∫ ∫ ∞− ∞ = − + t t dxxf q dxxf q 0 )( )( 2 1 , (9) или : 0 )( )] ( 1[ 2 1 = − − + tFq tF q . (10) Оптимальное решение t оп из формулы (10) должно удовлетворять уравнению : 2 1 1 ) ( q q q tF оп + = . (11) Допустим , что заготавливаемый объем древесины подчинен нормальному закону с математическим ожи - данием m и средним квадратическим отклонением ( стандартным разбросом ) σ , т . е . получается равенство : 2 1 1 2 ) ( 2 2 2 1 q q q dx e оп t mx + = ∫ ∞− − σ π σ . (12)