Systems. Methods. Technologies 3(35) 2017

Системы Методы Технологии . А . В . Колесников и др . Напряженно - деформированное состояние … 2017 № 3 (35) с . 87-93 91 Здесь через ∗ P и ∗ S обозначены усилия , которые передаются со стороны пластины на ребро . M , N , Q — соответственно изгибающий момент , продольная сила и перерезывающая сила в ребре . Продифференци - руем второе уравнение (19) по х , а затем , исключая по - перечную силу Q , получим следующие два уравнения : 0 1 2 2 = −+ − ∗ ∗ PP h dx dS dx Md . (20) ∗ = S dx dN . Сила N и момент M в ребре определяются через продольное перемещение p u и прогиб ребра p υ по формулам : 2 2 dx d JE M p PP υ −= , dx du FEN p PP = . (21) Из условия совместимости перемещений ребра и пластины на основе гипотезы плоских сечений для ребра будем иметь следующие зависимости между пе - ремещениями ребра p u , p υ и пластины ∗ u , ∗ υ на ли - нии сопряжения : ∗ υ=υ p , h dx d u u p ∗ ∗ υ− = . (22) С учетом зависимостей (21) и (22) приведем урав - нения (20) к виду : P P dx dS h dx d JE PP = + −υ ∗ ∗ ∗ 1 4 4 , 0 3 2 1 2 2 = −υ − ∗ ∗ ∗ S dx d hFE dx ud JE PP PP . (23) Связь между нагрузками ∗ P , ∗ S и напряжениями y σ и xy τ по линии контакта ребра и пластины опреде - ляется формулами : 2 h y P =η ∗ σ⋅δ= , (24) 2 h xy S =η ∗ τ⋅δ= . Полагая в формулах (11) 2 h =η и подставляя зави - симости для перемещений и напряжений в пластине по линии контакта с ребром в уравнения (23), получим систему алгебраических уравнений относительно неиз - вестных коэффициентов m C для каждого члена ряда . В случае симметричной задачи имеем следующую систе - му уравнений : δ −= η η+ +η η+η ε+η × × ν+ ν−−η η + + η +η ε+η − l P c shm m chm m shmm shm chm mm b c chm mshm shmm b m m m 2 1 4 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 )1( ] ) ( ) 1 1 ( 1 [ ) 1 ( , (25) 0 )] ( ) 1 1 ( 1 ) 1 2 ( 1 [ ) 1 1 ( 4 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 = η η+η + +η ν+ ν−−η η ε α − −η η+η ν+ α + + η +η ε α −η α m m c chm m shm shm chm mm b shm m chm m b c shm shmm b mchm b . Здесь введены безразмерные коэффициенты : πν+ δ = ) 1( PP пл FE E a l , πν+ δ = ) 1( 2 PP пл JE E b l , b a =α , l 1 h π=ε . (26) Из системы уравнений (25) определяем постоянные коэффициенты m C 1 и m C 4 . )] ( ) 1 1 ( ) 1 2 ( [ )1( 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 5,3,1 2 1 1 η η+η α+η ν+ ν−−η η× ε− −η η+η ν+ ∆ − δ −= ∑ ∞ = − chm m shm b shm chm m m shm m chm m b P С m m m m l , ) ( )1( 1 1 2 1 1 5,3,1 2 1 4 η α+η ε−η × × ∆ − δ = ∑ ∞ = − shm b shmm mchm b P С m m m m l , (27) ] 1 1 2 ) 1 1 ( 2 ) ( ) 3 3 ( ) 1 2 ( 1 2 1 2 3 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 4 1 2 1 2 3 1 η ν+ ε + +η−η η ν+ ν− ε + +η+η η α+η−η η ν+ ν− + +η ν+ +η ν+ α=∆ msh mb m chm shm mb m chm shm b m shm chm m mch bm msh mb m . Подставляя значения коэффициентов (27) в зависи - мости (11) и считая 0 3 2 = = m m C C , получим выраже - ния для напряжений и перемещений симметричной за - дачи . В заключение сложим решения симметричной и об - ратносимметричной задач соответственно . Сумма ре - шений дает полную картину напряженно - дефор - мированного состояния полосы , усиленной ребрами жесткости и нагруженной нормальными сосредоточен - ными силами по одной кромке . Для практического рас - чета было исследовано напряженно - деформированное состояние полосы , которая имеет отношение ширины пролета к длине 5 1 = l h .