Systems. Methods. Technologies 3(35) 2017

Systems Methods Technologies. A.V. Kolesnikov et al. Stress-stain state …2017 № 3 (35) p. 87-93 90 ξ η η+η × ×π +π π +η η−× × π π+π × ×+π +π π − −= τ π− ∞ = − ∑ m e с hm m shm k chm k shm km shm m k kchm mk shm km k shm kmc P km m m xy cos )]} ( ) () ( ) [( )] ( )1 ( ) {[( )1( 2 2 2 5,3,1 2 1 l , где ]) ( [ 1 2 2 km kmsh c π −π = . При этом на границах участка 0 = x и l = x выпол - няются в соответствии с записанными зависимостями (15) граничные условия определенного рода (2). Окон - чательное решение задачи получим , суммируя напря - жения и перемещения (8) с напряжениями и перемеще - ниями (15) соответственно . На рис . 5, 6 приведены ре - зультаты вычисления безразмерных напряжений для различных сечений полосы . При этом отношение ши - рины полосы к длине пролета между двумя соседними силами 5 1 = k . Линии , показанные пунктиром , отвеча - ют первому решению , что дает возможность оценить величину поправки , вносимой вторым решением . О напряженном состоянии бесконечной полосы , усиленной двумя краевыми ребрами . Рассмотрим пластину в форме бесконечной полосы , подкрепленной по кромкам 2 h y = и 2 h y −= ребрами жесткости . Так же , как и в только что рассмотренной задаче , будем считать , что пластина загружена по кромке 2 h y = со - средоточенными силами P , приложенными обратно - симметрично с интервалом l и действующими по нормали к ребру в плоскости полосы ( рис . 2). P l h/2 y x l P P l h/2 Рис . 2. Расчетный элемент полосы Считаем , что ребра работают на растяжение - сжатие и изгиб в плоскости пластины . Начало координат рас - положим посередине расстояния между соседними си - лами , на линии , проходящей через центры тяжести по - лосы ( рис . 2). Для симметрии полоса разбивается на пролеты длиной l , в каждом из которых будет одно и то же напряженное и деформированное состояние . Один из таких пролетов на рис . 2 показан заштрихо - ванным . На основании сказанного общее решение за - дачи , отвечающее рассматриваемому случаю обратно - симметричного нагружения , разыскиваем в виде оди - нарных тригонометрических рядов (11). В соответст - вии с зависимостями (11) нагрузку из сосредоточенных сил P представим в виде ряда : ξ − =σ ∑ ∞ = − m P m m y sin )1( 2 5,3,1 2 1 l . (16) Приведенное на рис . 2 одностороннее загружение удобно представить в виде двух загружений пластины по обеим кромкам . Одно из них симметрично , а другое обратносимметрично относительно продольной сим - метрии пластины ( рис . 3). Считая ширину пластины равной h , будем иметь граничные условия при 0 = y в первом и втором случаях соответственно : 0 0 0 = τ= υ = = y xy y , (17) 0 0 0 = σ= = = y y y u . (18) = + P/2 P/2 P/2 P/2 P Рис . 3. Представление заданного решения как сумма двух решений С учетом указанной выше симметрии и граничных условий (13) общее решение первой симметричной за - дачи представим в виде выражений (11) при значении постоянных 0 3 2 = = m m C C . Общее решение второй об - ратносимметричной задачи также представляется в ви - де выражений (11). С учетом условий (4) постоянные 0 2 1 = = m m C C . Для определения неизвестных коэффициентов в ка - ждой задаче рассмотрим условия сопряжения ребра и пластины . Принимая во внимание , что между ребром и пластиной имеется полное сопряжение в отношении перемещений , составим дифференциальные уравнения равновесия элементарного участка ребра . Согласно рис . 4: ∗ = S dx dN , 0 1 = +− ∗ hSQ dx dM , (19) P P dx dQ − = ∗ . h Q N P S Q+dQ N+dN dx M M+dM P h Рис . 4. Элемент ребра жесткости