Systems. Methods. Technologies 3(35) 2017

Системы Методы Технологии . А . В . Колесников и др . Напряженно - деформированное состояние … 2017 № 3 (35) с . 87-93 89 ]2 )[ 1( 2 ρ− η∂ ρ∂ην+ π = P V , где ∑ ∞ = η− − ξ −η ξ +η =ξ − =ηξρ 5,3,1 2 1 sin sin ln 4 1 sin 1 )1( ) ,( m m m ch ch m e m , ∑ ∞ = η− − η ξ =ξ − =ηξψ 5,3,1 2 1 cos 2 1 cos 1 )1( ) ,( m m m sh arctg m e m . Для того чтобы сделать переход от полуплоскости к полосе , надо удовлетворить граничным условиям по нижней границе полосы : 0 = σ = hyy , 0 = τ = hy xy . 9) Для этого необходимо на решение (8) наложить вто - рое ( компенсирующее ) решение , которое снимет напря - жение от нагрузок , получаемых в первом решении : ∑ ∞ = π− − = ξ +π − = σ 5,3,1 2 1 sin )1 ( )1( 2 m km m hyy m e km P l , ∑ ∞ = π− − = ξ π − −= τ 5,3,1 2 1 cos )1( 2 m km m hyxy m kem P l . (10) где l h k = . Второе решение будем разыскивать в виде одинар - ных тригонометрических рядов , используя при этом запись через гиперболические функции : )] 2( ) 2( [ sin 4 3 5,3,1 2 1 η η+η +η η+η + +η +η ξ =σ ∑ ∞ = shm m chm B chm m shm B shm B chm Bm m m m m m x , ) ) ( sin 4 3 5,3,1 2 1 η η +η η + +η +η ξ −=σ ∑ ∞ = shm mB chm mB shm B chm Bm m m m m m y , )] ( ) ( [ cos 4 3 5,3,1 2 1 η η+η +η η+η + +η +η ξ −= τ ∑ ∞ = chm m shm B shm m chm B chm B shm Bm m m m m m xy ,(11) )] 1 2 ( ) 1 2 ( [ cos 1 ) 1( 4 3 5,3,1 2 1 η η+η ν+ +η η+ +η ν+ + +η +η ξ π ν+ −= ∑ ∞ = shm m chm B chm m shm B shm B chm Bm m U m m m m m l , )] 1 1 ( ) 1 1 ( [ sin 1 ) 1( 4 3 5,3,1 2 1 η ν+ ν−−η η +η ν+ ν−−η η + +η +η ξ π ν+ −= ∑ ∞ = shm chm m B chm shm m B chm B shm Bm m V m m m m m l Постоянные В 1m , В 2m , В 3m , В 4m определим по кром - кам полосы y = 0 и y = h . С учетом первого решения (10) эти условия запи - шем в следующем виде : 0 0 = σ = yy , 0 = τ = hy xy , ∑ ∞ = π− − = ξ +π − −= σ 5,3,1 2 1 sin )1 ( )1( 2 m km m hyy m e km P l , (12) ∑ ∞ = π− − = ξ π − = τ 5,3,1 2 1 cos )1( 2 m km m hyxy m kem P l . Удовлетворяя условиям (12) зависимостями (11), получим систему алгебраических уравнений относи - тельно постоянных В 1m , В 2m , В 3m , В 4m для каждого но - мера m ) ,..... 5,3,1 ( ∞ = m : 0 1 = m B , 0 3 2 = + m m B B , km m m m m e km P k kshm mB k kchm mB k shm B π− − +π − = =π π +π π +π )1 ( )1( 2 2 1 4 3 2 l , (13) km m m m m kem P k kchm mk shm B k kshm mk chm B k chm B π− − π − −= π π+π + +π π+π +π 2 1 4 3 2 )1( 2 ) ( ) ( l . Отсюда находим : 0 1 = m B , 2 2 2 2 1 3 2 ) ( ) )(1 ( ) ( )1( 2 km kmsh k kchm mk shm kmk shm km e P B B km m m m π −π π π+π +π π π × × − = −= π− − l , (14) 2 2 2 2 1 4 ) ( ) () ( )1( 2 km kmsh k chm k shm km e P B km m m π −π π +π π − = π− − l . По формулам (11), с учетом полученных зависимо - стей , искомые выражения , например , для напряжений , отвечающих второму решению , примут вид : ξ × × η η+η π +π π + +η η−η −× π π+π × ×+π +π π − =σ π− ∞ = − ∑ m e shm m chm k chm k shm km chm m shm k kchm mk shm km k shm kmc P km m m x sin )]} 2)( () ( ) [( )] ( )1 ( ) {[( )1( 2 2 2 5,3,1 2 1 l , ξ η η×π +π × × π +η η−η × × π π+π +π + +π π − −=σ π− ∞ = − ∑ m e shm m k chm k shm km chm m shm k kchm mk shm km k shm kmc P km m m y sin ]} ) ( ) ( ) [( )] )(1 ( ) {[( )1( 2 2 2 5,3,1 2 1 l , (15)