Systems. Methods. Technologies 3(35) 2017

Systems Methods Technologies. A.V. Kolesnikov et al. Stress-stain state …2017 № 3 (35) p. 87-93 88 тить , что при стремлении высоты ребра к нулю реше - ние задачи стремится к решению , которое рассматри - валось в первой части статьи . Решения в рядах для неподкрепленной полосы . Рассмотрим обратносимметричную задачу равновесия прямоугольной полосы , нагруженной сосредоточенной нагрузкой вдоль верхнего края , действующей в плоско - сти пластин нормально к ее границе с периодом l ( рис . 1). Ввиду периодичности загружения мысленно разби - ваем полосу на отдельные пролеты длиной l . Граница - ми этих пролетов принимаем сечения , проходящие по - середине расстояний между соседними силами . При большом количестве пролетов все они , очевидно , будут находиться в одинаковых условиях , поэтому достаточ - но рассмотреть наряжено - деформированное состояние одного пролета ( на рис . 1 он заштрихован ). Рис . 1. Обратносимметричная задача равновесия прямо - угольной полосы Выберем для данного участка полосы систему ко - ординат , как показано на рис . 1. Принимая во внимание условия обратной симметрии задачи , будем иметь по концам участка 0 = x и l = x следующие граничные условия : 0 0 0 = σ= υ = = = = l l x xx x x . (2) Эти условия будут справедливы и для изолирован - ного участка конструкции , если на концах 0 = x и l = x он опирается непрерывно на диафрагмы , абсолютно жесткие в своей плоскости и абсолютно гибкие из плоскости . Предположим , что полоса ( рис . 1) неогра - ниченно продолжена в направлении оси y . Тогда общее решение для полуплоскости в соответствии с гранич - ными условиями (2) в одинарных тригонометрических рядах , затухающих по мере удаления от границы y = 0, в безразмерных координатах : l x π=ξ , l y π=η (3) примет вид : ∑ ∞ = η− ξ −η + =σ 5,3,1 2 1 sin ] )2 ( [ m m m m x m e A m A , ∑ ∞ = η− ξ η+ −=σ 5,3,1 2 1 sin ) ( m m m m x m e Am A , ∑ ∞ = η− ξ η−+ = τ 5,3,1 2 1 cos ] ) 1( [ m m m m xy m e Am A , (4) ∑ ∞ = η− ξ + −η π ν+ −= 5,3,1 2 1 cos ] ) 1 2 ( [ 1 ) 1( m m m m m e A m mA m U l , ∑ ∞ = η− ξ ν+ ν−−η π ν+ = 5,3,1 2 1 sin ] ) 1 1 ( [ 1 ) 1( m m m m m e A mA m V l . Произвольные постоянные A 1m , A 2m определяем из условий на границе полуплоскости : ∑ ∞ = − = ξ − δ = σ 5,3,1 2 1 0 sin )1( 2 m m yy m P l , 0 0 = τ = yxy , (5) где δ — толщина полосы , которую примем равной 1. Первое условие соответствует представлению внешней нормальной нагрузки в форме тригонометри - ческого ряда . Удовлетворяя граничным условиям с по - мощью зависимостей (4), найдем значения постоянных : l P A A m m m 2 )1( 2 1 2 1 − −−= = . (6) Искомые зависимости для напряжений и перемеще - ний , отвечающие решению рассматриваемой задачи , в соответствии с выражениями (4) и постоянными (6) следующие : ∑ ∞ = η− − ξ −η − −=σ 5,3,1 2 1 sin )1 ( )1( 2 m m m x m e m P l , ∑ ∞ = η− − ξ +η − =σ 5,3,1 2 1 sin )1 ( )1( 2 m m m y m e m P l , ∑ ∞ = η− − ξ η − −=τ 5,3,1 2 1 cos )1( 2 m m m xy m em P l , (7) ∑ ∞ = η− − ξ ν+ ν−−η − π ν+ = 5,3,1 2 1 cos )] 1 1 [ 1 )1( ) 1(2 m m m m e m m P U , ∑ ∞ = η− − ξ η+ ν+ − π ν+ −= 5,3,1 2 1 sin ] 1 2 [ 1 )1( ) 1(2 m m m m em m P V . Принимая во внимание формулы суммирования тригонометрических рядов , предложенные в работе [1, 2], получим зависимости для напряжений и перемеще - ний в замкнутом аналитическом виде , отвечающие точному решению задачи о полуплоскости , загружен - ной по границе рядом сосредоточенных сил P : η∂ ρ∂ + η∂ ρ∂η −=σ )1 ( 2 l P x , η∂ ρ∂ − η∂ ρ∂η =σ )1 ( 2 l P y , 2 2 2 η∂ ψ∂ η −= τ l P xy , (8) ] 1 1 )[ 1( 2 ψ ν+ ν−+ η∂ ψ∂ην+ π −= P U ,