Systems. Methods. Technologies 3(35) 2017

Системы Методы Технологии . П . М . Огар и др . Критерии появления … 2017 № 3 (35) с . 32-39 35 ( ) 5.0 max 5,0 0 arcsin 2 4 0, i c c i i r q a R p η π + πθ ωη = η , (13) ( ) ( ) i i c c i i mi q a R p ηψ η + πθ ωη =η η 3 8 max 5,0 , (14) ( ) ( ) [ ] i i i i η−η− η π =ηψ η 1 arcsin 2 5,0 . (15) Контурное давление q c определяется выражениями : ( ) ( ) ∫ ϕ′ =ε εε ) , min( 0 s duu q q n ci c (16) ( ) i c ci i ci q a R q ηψ+ πθ ωη= η 3 8 max 5,1 . (17) Из уравнений (16) и (17) имеем : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ϕ′ ηηψ − ∫ ϕ′ η π = ω ε θ =ε εε εε ) , min( 0 ) , min( 0 5,1 max 1 3 8 s s duu duu R a q f n i n i c c q ; (18) где :           ω −ε−         + − + − ω −ε=η 2 2 1 2 1 2 2 u f f f u q q q i . (19) Подставляя выражение (19) в (18) и задаваясь зна - чениями ε из полученного трансцендентного уравне - ния , можно определить зависимость ( ) ε q f . Область применения выражений (10) – (19) ограни - чена критерием пластичности , определяющим появле - ние пластической деформации . Перемещения от нормального давления (12), распре - деленного по области 1 W поверхности полупространства , могут быть найдены посредством суперпозиции с исполь - зованием результатов для сосредоточенной силы [15]. Для осевых и радиальных перемещений : r P a v u z ⋅ π −−= 2 1 . r P a v u r ⋅ π −−= 4 21 (20) В этом случае , согласно данным работы [16], пере - мещение точек нагруженной области : ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ         ϕ − +β+βΒ× × π β+ θ= +β π +β ∫ d a r ap ru rm z 5,0 2 0 2 2 2 1 2 sin 1 1 ,1 2 1 ; (21) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                           ϕϕ       ϕ+ϕ− ϕ+ϕ− +ββ− × ×ϕ+ϕ−         − − −         −β− +β+βΒ × ×β+ π− − θ−= ∫ π β +β d c b c b F c b a r a r F v v ap ru r rm r cos ;2 ;1, 12 ; 2 3 ; 2 1 , 1 ,1 2 1 1 21 12 2 0 2 2 2 2 12 1 2 ; (22) ( ) ϕ =ϕ cos a r b , ( ) 2 1 2 2 2 sin 1         ϕ − =ϕ a r c ; где ( ) ba , Β — бета - функция ; ( ) xcbaF ; ; , 12 — гипергео - метрическая функция Гаусса . Из выражения (22) определяем компоненты дефор - маций на поверхности : r u r r ∂ ∂=ε и r u r =ε ϕ . Для точек нагруженной области : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )          ≡ =ρ ρ− +β−=σ       ρ∂ ρ ∂ + ρ ρ θ +σ − = σ       ρ ρ + ρ∂ ρ ∂ θ +σ − = σ β ϕ r m z r r m m z m r r m m z m ri a a a r p u v u ap pv v p u v u ap pv v p , , 11 1 1 1 1 2 . (23) Используя критерий максимального касательного напряжения Треска , рассчитываем эквивалентные на - пряжения на поверхности : ( ) 1 3 3 2 2 1 max , , σ−σσ−σσ−σ =σ y . (24) Напряжения на оси z можно вычислить , рассмот - рев элементарные кольца с радиусами 1 r и 2 r и площа - дями 1 1 2 drr π и 2 2 2 dr r π . Нагрузки на кольца соответст - венно равны ( ) 1 1 1 2 dr rpr r π и 2 2 2 drqr c π . Подставляя эти значения в выражения для напря - жений на оси от сосредоточенных сил (20) и интегри - руя по областям 1 W и 2 W , находим : ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )             ≥       −+β ⋅ +− ≤                   +× × +βΓ +βΓπ − −       − −β− β+ + − = σ −β Σ .1 , ;2 ; 2 3 ,1 1 1 , 1 5,0 1 ; 2 1 ;1, 1 12 2 12 2 5,0 2 2 12 1 z z F zv z z z z F v p m (25) (26) где r az z = . На оси z u r σ=σ , следовательно : ( ) 1 1 1 1 5,0 z r σ− σ = σ=σ Σ ϕ . (27)