Systems. Methods. Technologies 3(35) 2017

Systems Methods Technologies. V.S. Logoyda. The method of individual …2017 № 3 (35) p. 154-159 156 Поэтому величина параметра технического состояния i- го элемента лесотранспортной машины в момент време - ни t j может определяться по выражению : ݆ܺ݅ ൌ ܺ ௜௢ ൅ ∑ φ ௜ ௝ ௞ୀଵ ሺ ݐ ௞ ሻ∆ ݐ , где ܺ ௜௢ — начальное значение параметра ; φ ୧ ሺ ݐ ௞ ሻ — значение случайной функции скорости процесса изме - нения технического состояния i - го элемента конструк - ции на k - ом интервале . При разработке метода индивидуального прогнози - рования использованы следующие теоретические предпосылки . Скорость изменения каждого параметра техниче - ского состояния φ ௜ ሺ ݐ ௞ ሻ представляет собой случайный процесс , который может быть описан выражением : φ ௜ ሺ ݐ ሻ = V i (t)* ρ i (t) , где V i (t) — некоторая детерминированная функция ; ρ i (t) — случайный процесс , обладающий свойством стационарности . Это означает , что математическое ожидание про - цесса М [ ρ i (t)] не зависит от t, а корреляционная функ - ция R(t–S) зависит лишь от разности t-S ( рис . 2). Такое представление скорости изменения параметра техниче - ского состояния достаточно реально для большинства элементов лесотранспортных машин ( около 80 %), от казы которых связаны с износом [7]. При этом процесс износа обладает свойством сильного перемешивания [8], т . е . асимптотической независимостью приращений износа . Изменение величины каждого параметра техниче - ского состояния ∆ X ij = X ij+1 – X ij ( j = 1, 2, …, n ) за рав - ные промежутки времени ∆ t является случайным про - цессом , который может быть представлен в виде : ∆ X i (t) = φ i (t) ∆ t = V i (t)* ρ i (t)* ∆ t. Этот случайный процесс , в свою очередь , может быть преобразован путем деления правой и левой части на детерминированную функцию V i (t) к стационарному виду : ∆ Z i (t) = ୼ଡ଼୧ሺ୲ሻ ୚୧ሺ୲ሻ = ρ i (t) ∆ t . Рис . 2. Принципиальная схема поведения нормированной корреляционной функции случайного процесса при наличии свойства сильного перемешивания Соответственно , в целом вектор - процесс Х (t) может быть также преобразован к стационарному виду : ∆ Z ( t)= Δܼ ଵଵ Δܼ ଵଶ … Δܼ ଶଵ Δܼ ଶଶ … … … Δܼ ଵ௝ … Δܼ ଵ௡ Δܼ ଶ௝ … Δܼ ଶ௡ … … … Δܼ ௜ଵ Δܼ ௜ଶ … … … … Δܼ ௠ଵ Δܼ ௠ଶ … Δܼ ௜௝ … Δܼ ௜௡ … … … Δܼ ௠௝ … Δܼ ௠௡ где ߂ ܼ݆݅ ൌ ௑ ೔ೕశభ ି௑ ೔ೕ ௏ ೔ೕ . В качестве следующей теоретической предпосылки использована известная теория академика А . Н . Колмо - горова о возможности представления некоторого бу - дущего значения стационарного случайного процесса в виде линейной комбинации предыдущих значений это - го процесса . При этом можно использовать в целях прогноза данные предыдущих предсказаний ; ΔZ ௜,௡ାଵ כ = ∑ ΔZ ௜,௡ି௟ ௣ିଵ ௟ୀ଴ כ ܽ ௜,௟ାଵ ൅ ∑ ΔZ ௜,௟ାଵ כ כ ܾ ௜,௟ାଵ, ௚ିଵ ௟ୀ଴ где p — число используемых последних наблюдений ; g — число используемых предыдущих прогнозов . Последняя предпосылка заключается в том , что из - менения в одном из процессов ∆ X i (t) могут быть объ - яснены изменениями в других составляющих вектора Х (t) в прошедшие моменты времени . Другими словами , предполагается наличие корреляции между процессами ∆ Z i (t). Это предположение , как правило , справедливо для процессов изменения выходных параметров , обу - словленных износом элементов машин [9, 10]. Напри - мер , скорость изнашивания шатунных подшипников коленчатого вала двигателя существенно зависит от величины зазора в коренных подшипниках [11, 12]. Наличием такого рода свойств объясняется использо - вание в прогнозе ΔZ ୧ כ (t) статистических данных по дру - гим процессам вектора ΔZ (t), т . е . методики многомер - ного прогнозирования [13]: ΔZ ௜,௡ାଵ כ = ∑ ∑ ΔZ ௞,௡ି௟ ௣ିଵ ௟ୀ଴ ௠௞ ୀ ଵ כ ܽ ௜,௞,௟ାଵ ൅ ൅∑ ∑ ΔZ ௞,௡ି௟ כ כ ܾ ௜,௞,௟ାଵ ௚ିଵ ௟ ୀ ଴ ௠௞ ୀ ଵ . В матричной форме это выражение будет иметь вид : ΔZ ௜,௡ାଵ כ = |ΔZ т ΔZ כ т |*| ஺ ೔ ஻ ೔ |, где А i = { ܣ ௜ଵт , … , ܣ ௜௠т } ܣ ௜௞т = {a ik1 , … , a ikp } B i = { ܤ ௜ଵт , … , ܤ ௜௠т } ܤ ௜௞т ={b ik1 , … , b ikp } ∆ܼ т = { ∆ܼ ଵ , … , ∆ܼ ௠ } ∆ܼ ௞ = { ∆ܼ ௞௡ , ∆ܼ ௞௡ିଵ ,… , ∆ܼ ௞௡ି௣ାଵ } т ∆ܼ כ т ={ ∆ܼ ଵ כ , …, ∆ܼ ௠ כ } ∆ܼ ௞ כ ={ ∆ܼ ௞௡ כ , ∆ܼ ௞௡ିଵ כ , …, ∆ܼ ௞௡ି௚ାଵ כ } т В последних выражениях введены тройные индек - сы , например , а ଵ௞௝ — это коэффициент при j- й наблю - даемой величине k- го составляющего процесса в урав - нении прогноза i- го составляющего процесса . Оценки коэффициентов С i = [A i |B i ] т находятся мето - дом наименьших квадратов : ∑ ሺ ௟ ௝ୀ଴ ∆ܼ ௜௡ି௝ െ ∆ܼ ௜௡ି௝ כ ) 2 → min . При этом используется система уравнений : ∆ܼ ௜ כ = ∑ ห|∆ܼ|ห݇ ܣ ௜௞ ൅ ∑ ||∆ܼ כ ||݇ ௞ ௞ ܤ ௜௞ . Система условных уравнений такого вида состав - ляется на основе статистического материала с приме -