Systems. Methods. Technologies 3(35) 2017

Systems Methods Technologies. P.M. Ogar et al. Ensuring tightness … 2017 № 3 (35) p. 7-14 10 a ri = 0, имеем ( ) c l c a aq R U − θ+ ε= 2 max 0 . (15) Так как величина U 0 постоянная для всех точек об - ластей контакта , то из (14) и (15) получим ( ) 0 2 1 1 max = ω −ε−η− − ω θ+η u R aq i cc i . (16) Данное уравнение имеет решение           ω −ε−       + − + − ω −ε=η 2 2 1 2 1 2 2 u f f f u q q q i . (17) где max R aq f cc q ω θ= . Учитывая выражение (10) для шероховатой поверхно - сти получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ εε η εε ϕ′ ηψ − ϕ′ η π = ω ε θ=ε s s duu duu R a q f n i n i c c q , min 0 , min 0 5,1 max 1 3 8 )( , (18) где ( ) ( ) [ ] i i i i η−η−η π =ηψ η 1 arcsin 2 5.0 . (19) Плотность зазоров в стыке . Для определения объема межконтактного пространства необходимо определить объемы зазоров , приходящиеся на отдельные контакти - рующие и не контактирующие неровности [4, 19, 20], ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]        ρρρ −ρ π= ρρρ −ρ π= = ∫ ∫ ci c ri a r r i a a ri c d z z V d z z V V 0 1 2 0 10 20 , 2 ; 2 (20) где − 20 10 , z z уравнения , описывающие поверхности не контактирующих неровностей и полупространства ; − r r z z 2 1 , уравнения , описывающие поверхности кон - тактирующих неровностей и полупространства . Тогда общий объем межконтактного пространства в стыке ∑ ∑ = − = + = r r c n i n n i i ri c V V V 1 1 0 , а соответствующая ему плотность зазоров ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 , min 0 , min 0 max max         ϕ′ + ϕ′ × × = =εΛ ∫ ∫ εε ε εε S S S duu V duu V RA RA V n i n ri ci c c (21) Учитывая , что ri ci ri RA V Λ = max , i ci i RA V 0 max 0 Λ = , выражение (21) можно представить в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ εε ε εε ϕ′ Λ + ϕ′ Λ =εΛ S S S duu duu n i n ri , min 0 , min 0 . (22) Определим уравнения поверхностей неровностей и полупространства , которые входят в (20). С учетом выражений (5), (6) и того , что 0 1 10 U z z − = , ( ) max 2 2/ R a r c ω = , получим ( )     − + − ω −ε ω= 1 2 2 max 10 k f x u R z q , (23) где ; c a x ρ= c l a a k = . Уравнение полупространства Eci U z = 20 . С учетом выражения (8) получим ( )       Ε−       Ε ω π = x k x k f R z q max 20 4 или , учитывая , что ( )       − π= Ε 2 1 2 ;1; 2 1 ; 2 1 2 t F t , где 12 F – гипергеометрическая функция Гаусса , имеем               − −         − ⋅ ω= 2 12 2 2 12 max 20 ;1; 2 1 , 2 1 ;1; 2 1 , 2 1 2 x F k x Fk f R z q . (24) Для контактирующей неровности ; 10 1 z z r = (25)      ≤≤ η + η<≤ = .1 , 0, 5,0 5,0 1 2 x U U x z z i Eci Eri i r r (26) Для определения Eri U используем выражения (7) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫ π ρρ+ϕ ρρ− ρ ϕρρ π θ−=ρ 0 2 1 1 1 1 1 0 . / cos / 21 2 dp d p U ri a Eri r Учитывая , что ( ) ( ) ∫ π       ρ ρ = ρρ+ρρ− ϕ 0 1 2 1 1 2 / / 21 K d , имеем ( ) ( ) ∫ ρ       ρ ρ ρ ρρ π θ−=ρ r a ri Eri d K p U 0 1 1 1 1 , 4 (27) где ( ) tK – полный эллиптический интеграл первого рода . Распределение давления на площадке контакта для определенного значения i η описывается выражением (9) и его можно представить в виде ( ) ( ) β         ρ− β+=ρ 2 2 1 1 r i mi i ri a p p . (28) где ( ) 1 0 − =β m ri p p . В работе [20] при определении плотности зазоров принималось 5.0 =β . Подставляя выражение (28) в (27), после интегриро - вания получим