Отклонение реальной поверхности от идеально гладкой связано с воздействием на тело различных независимых факторов которое позволяет представить поверхность как совокупность четырех размерных уровней: макроотклонений, волнистости, шероховатости и субмикрошероховатости. В качестве условного разделения неровностей используют отклонение шага и высоты неровностей S_i/H_i, которое для неровностей смежных уровней отличается на порядок и более.

Для модельного представления, принятого в триботехнике, используют разные подходы - от детерминистского до статического и фрактального. Каждый из них имеет достоинства и недостатки, поэтому правильный выбор метода описания поверхности зависит от решения конкретной задачи.

Широкое применение в триботехнике находит дискретная модель шероховатой поверхности, однако ее использование для определения характеристик контакта тяжелонагруженных шероховатых поверхностей, каким, например, является стык уплотнительных поверхностей, приводит к большим погрешностям, так как она адекватно описывает лишь начальную часть опорной поверхности.

Цель настоящей работы - разработка дискретной модели, адекватно описывающую реальную поверхность на уровне шероховатости по всей высоте шероховатого слоя. Исходными данными для модельного представления шероховатой поверхности должны быть стандартные параметры шероховатости.

Представим шероховатую поверхность как совокупность структурно неорганизованных поверхностей отдельных неровностей самоподобной формы и случайных размеров, распределение вершин и впадин которых описывается функцией j _n(u,v). Расположение отдельной неровности в шероховатом слое определяется относительными уровнями u и v (рис.1), а распределение материала (индекс u) и свободного пространства (индекс v) описывается функциями

где

Рис.1. Схема шероховатой поверхности.

Для описания всей шероховатой поверхности при известных функциях (1) необходимо знать одну из двух функций:

где A_u, A_v - площадь сечения материала и свободного полупространства на относительных уровнях e и x ; n(u,v) - число неровностей, вершины которых расположены выше уровня u, а впадины ниже уровня v, n_c - общее число неровностей.

Так как, стандартные параметры шероховатости определяются из профилограммы, а функции, описывающие распределение материла для профиля t_p и поверхности h _u(e ) совпадают, что невыполняется для функций распределения вершин и впадин неровностей профиля j _nl(u₁,v₁) и поверхности j _n(u,v), то в основу модели положена опорная кривая профиля. Тогда задача сводится к определению j _n(u,v).

Допустим, что функция h _u(e ) монотонна и дважды дифференцируемая для e О [0,1]. Используя для описания опорной кривой поверхности распределение неполной бета-функции, впервые предложенное Н.Б. Демкиным,

и считая, что функции h _ui(x _i), y _c(w ), j _n(u,v) монотонны и непрерывны, получим следующие выражения

где

e _s,x _s - уровни насыщения вершин и впадин.

Решение уравнений (3), (4) относительно j _n(u,v) без наличия каких-либо гипотез относительно вида функции j _n(u,v) и соотношения параметров e _s и x _s, даже при известных функциях h _ui(x _i) и h _vi(x _i), представляет собой некорректную задачу. Поэтому сделаем следующие допущения:

1. Функцию можно представить в виде

где функция определяет спектр неровностей и служит мерой взаимозависимости функций распределения вершин и впадин.

2.

3. Вершины и впадины имеют одинаковую форму и описывается параболоидом второго порядка. Тогда

4.

С учетом допущений из уравнений (3) и (4) получим систему парных уравнений Фрейгольма первого рода

которая по крайней мере при a ₁+g -1=n, b ₁=m, где n,m - целые числа, имеет аналитические решения.

Рассмотрим два случая.

Случай 1 - функции распределения вершин и впадин взаимонезависимы (a ₁=1, b ₁=1); площадь приходящаяся на отдельную неровность пропорциональна ее высоте (g =1), при этом радиус кривизны неровностей r(w )=const. Тогда из выражения (5) с учетом решения системы уравнений (6) и (7)

Случай 2 - функции распределения вершин и впадин взаимозависисмы (a ₁=2, b ₁=1); площадь, приходящаяся на отдельную неровность, является постоянной (g =0), при этом r(w )~w ^-1. Тогда

С учетом (2) для j _{n? ?} (u,v) и C_a получим для случая 1:

для случая 2:

где

Рис. 2. Функция и плотность распределения неровностей для разных моделей шероховатости: индекс 1 соответствует уравнению (8), 2 - уравнению (9), 3 - описанию начальной части опорной кривой параболой. Точками обозначены расчетные значения для упрощенной модели шероховатости.

Предложенную модель можно существенно упростить, если предположить, что высота отдельной неровности является постоянной величиной, т.е. w =const. В этом случае распределение неровностей по высоте описывается одномерной функцией

где

На рис.2 представлены функции и плотности распределения неровностей по высоте шероховатого слоя, рассчитанные для эквивалентной шероховатой поверхности, определяющей контакт двух одинаковых изотропных шероховатых поверхностей со следующими параметрами: R_max= 1 мкм, R_a=0,2 мкм, R_q=0,25 мкм, R_p=0,5 мкм, S=100 мкм, S_m=120 мкм. При описании шероховатости бета-функцией (сплошные линии): a =3,5; b =3,5. При описании опорной кривой параболой h =be n (штриховые линии): b=2,8989, v=2,5355.

Как следует из рис.2, число неровностей, находящихся выше уовня u=0,25:0,30, для моделей 1 и 2 примерно в 1,5 раза больше чем модели 3, что значительно сказывается при определении характеристик контакта шероховатых поверхностей. Модель 3 следует использовать для u<(0,1:0,15). Расчетные значения для функций j _n и j _n? , определенные с использованием выражения (10), занимают промежуточное значение для соответствующих функций j _{n 1,2} и