В статье "Определение динамических характеристик течения жидкости в магистралях с осциллирующим источником давления" был проведен анализ некоторой теоретической модели гидравлической системы, в результате которого была получена функция, полностью определяющая нестационарное течение в упругом соединительном элементе между источником давления и исполнительным органом. Уравнение имеет вид:

(1)

где r - плотность жидкости;

а - скорость распространения звука;

u ₀ - скорость движения плунжера привода;

• - частота колебания плунжера (возбудителя колебаний);

а_n и b_n - коэффициенты ряда Фурье для функции скорости.

Предложенное авторами уравнение зависимости давления при определенных параметрах системы можно применить для такого случая, как виброударный инструмент при заданных граничных условиях.

Задавшись допущением, что на исполнительном органе инструмента происходит жесткий удар, а перемещение по окончании первой четверти периода и до четвертой равно нулю, и считая при этом, что отскока не происходит, можно принять следующую расчетную схему (рис.1).

Рис.1. Расчетная схема инструмента.

Возбудитель колебаний (плунжер) движется по гармоническому закону с заданной амплитудой перемещения .

Скорость движения исполнительного органа описывается функцией, график которой показан на рис.2.

Рис.2. График изменения скорости исполнительного органа.

Функция скорости не является элементарной, и для получения решения в аналитической форме представим ее суммой гармонических функций посредством ряда Фурье. Ряд Фурье представляет собой:

(2)

где а_n и b_n - коэффициенты ряда; n = (1,2, ..... ? ).

Коэффициенты ряда Фурье находим по известным формулам:

(3)

(4)

(5)

где f (x) - заданная функция,

k = 1, 2, 3, ...

При решении ограничимся пятыми коэффициентами ряда. Коэффициенты ряда при пределах интегрирования от 0 до 2p имеют значения: a₀ = 0.0000; a₁ = 0.0159; a₂ = 0.0454; a₃ = -0.0027; a₄ = -0.0412; b₀ = -0.0099; b₁ = 0.5020; b₂ = 0.4112; b₃ = -0.0185; b₄ = -0.1704.

Уравнение (1) показывает зависимость P от t по длине рукава, где b_n и a_n коэффициенты ряда Фурье для функции скорости u (x,t).

k = w /a, (6)

При параметрах привода: r = 0,8? 10³ кг/м³, l = 1,7 м (длина рукава, соединяющего привод и инструмент),

u ₀ = w ? A, (7)

где А - амплитуда перемещения плунжера привода (А=7 мм), получаем следующие значения давления на инструменте и в возбудителе колебаний в зависимости от частоты.

В заданных условиях резонансный режим наступает при w = 70? 2p рад/с. При этом давление на входе трубопровода во много раз меньше, чем на его выходе, следовательно затраты на создание рабочего давления в инструменте минимальны и связаны, в основном, с силами трения в приводе и плунжерной паре.

Для уравнения P(x,t) одной гармоники колебаний в системе разность давлений на выходе трубопровода в резонансном режиме D P = 1.67 МПа.

Но в системе помимо первой существуют и высшие гармоники, которые, складываясь, образуют реальный волновой процесс движения жидкости.

Частота каждой следующей гармоники в два раза выше, чем у предыдущей. Любая реальная механическая система является фильтром, препятствующем прохождению высокочастотных гармоник, и поэтому при составлении уравнения давления P(x,t) ограничимся четвертой гармоникой колебаний рабочей жидкости.

В результате сложения четырех гармоник разность давлений в резонансном режиме оказывается несколько меньше, чем в случае одной гармоники (D P = 1,48 МПа).

Устранить влияние высших гармоник практически невозможно, но можно значительно уменьшить его путем подбора соответствующих параметров привода и передающего трубопровода (рукава). Например, изменением жесткости рукава, длины рукава, изменением частоты колебаний, либо предусмотреть гаситель высокочастотных колебаний в системе привод - трубопровод - инструмент.

Последующие вычисления можно проводить и для большего числа гармоник, если будут известны коэффициенты этих гармоник.

Исследования этого направления до конца не изучены вследствие сложного волнового процесса и трудности его описания с математической точки зрения и возникновения побочных эффектов.

Список использованных источников